Tìm số tự nhiên x,y thoả mãn: (6x+5y+1)(4^x+8x+y)=105

Để tìm số tự nhiên x, y thoả mãn phương trình đã cho, ta phân tích số 105 thành các thừa số nguyên tố: 105 = 3 * 5 * 7.

Ta có thể thấy rằng 6x + 5y + 1 là một số lẻ, vì nếu cả 6x và 5y đều là số chẵn thì 6x + 5y cũng là số chẵn. Vì vậy, 4^x + 8x + y cũng phải là số lẻ.

Với 105 = 3 * 5 * 7, ta có các trường hợp sau:

- Trường hợp 1: 6x + 5y + 1 = 105 và 4^x + 8x + y = 1.
Từ phương trình thứ nhất, ta có 6x + 5y = 104. Vì 6x là số chẵn, nên 5y cũng phải là số chẵn. Nhưng 104 không chia hết cho 5, nên không có số tự nhiên x, y thoả mãn trong trường hợp này.

- Trường hợp 2: 6x + 5y + 1 = 35 và 4^x + 8x + y = 3.
Từ phương trình thứ nhất, ta có 6x + 5y = 34. Vì 6x là số chẵn, nên 5y cũng phải là số chẵn. Nhưng 34 không chia hết cho 5, nên không có số tự nhiên x, y thoả mãn trong trường hợp này.

- Trường hợp 3: 6x + 5y + 1 = 21 và 4^x + 8x + y = 5.
Từ phương trình thứ nhất, ta có 6x + 5y = 20. Giải hệ phương trình này, ta có x = 2 và y = 2. Thay x, y vào phương trình thứ hai, ta có 4^2 + 8*2 + 2 = 5. Vậy số tự nhiên x = 2 và y = 2 thoả mãn phương trình đã cho.

- Trường hợp 4: 6x + 5y + 1 = 15 và 4^x + 8x + y = 7.
Từ phương trình thứ nhất, ta có 6x + 5y = 14. Giải hệ phương trình này, ta có x = 1 và y = 2. Thay x, y vào phương trình thứ hai, ta có 4^1 + 8*1 + 2 = 7. Vậy số tự nhiên x = 1 và y = 2 thoả mãn phương trình đã cho.

Vậy có hai cặp số tự nhiên x, y thoả mãn (6x+5y+1)(4^x+8x+y)=105, đó là (x, y) = (2, 2) và (x, y) = (1, 2).