Cho tam giác ABC nhọn có AB nhỏ hơn AC

Để chứng minh MN // BC, ta sẽ sử dụng định lí Thales.

Gọi I là giao điểm của BM và AC. Ta có BM = 2AM, suy ra AM = AB/3 và BM = 2AB/3.
Gọi J là giao điểm của AN và BC. Ta có AN = 1/2CN, suy ra CN = 2AN và CJ = BC - BJ = BC - CN = BC - 2AN.

Áp dụng định lí Thales cho tam giác ABC và đường song song MN, ta có:
BM/AM = CJ/JN
2AB/3 / AB/3 = BC - 2AN / CN
2 = BC - 2AN / CN
2 = BC - 2AN / 2AN
2AN = BC - 2AN
4AN = BC
AN = BC/4

Từ đó, ta có CN = 2AN = BC/2 và CJ = BC - 2AN = BC - BC/2 = BC/2.

Do đó, ta có CJ = CN, suy ra MN // BC.

Vậy, ta đã chứng minh được MN // BC.