a) Khi biết AP = 2PQ = 2QB, ta có thể tính độ dài của các đoạn thẳng AP, PQ và QB.

Vì AP = 2PQ, ta có PQ = AP/2 = a/2.
Vì PQ = 2QB, ta có QB = PQ/2 = a/4.

Do đó, độ dài của các đoạn thẳng là:
AP = 2PQ = 2(a/2) = a,
PQ = a/2,
QB = PQ/2 = (a/2)/2 = a/4.

Để tìm khoảng cách giữa điểm A và điểm I, ta sẽ tính độ dài đoạn thẳng AI, với I là trung điểm của QB.

Vì I là trung điểm của QB, ta có IB = a/2.
Vì AP = a, ta có PI = AP - QB = a - (a/4) = 3a/4.

Từ đó, ta có:
AI = AB - IB = a - (a/2) = a/2.

Vậy, khoảng cách giữa điểm A và điểm I là a/2.

b) Để tìm khoảng cách giữa điểm E (là trung điểm của AP) và điểm I, ta sẽ tính độ dài đoạn thẳng EI.

Vì E là trung điểm của AP, ta có EP = AP/2 = a/2.
Vì AI = AB - IB = a/2, ta có IP = AI - AP = (a/2) - a = -a/2.

Từ đó, ta có:
EI = EP - IP = (a/2) - (-a/2) = (a/2) + (a/2) = a.

Vậy, khoảng cách giữa điểm E và điểm I là a.