Gọi x là cạnh của hình vuông ABCD.
Ta có diện tích hình vuông ABCD là x^2 = 240cm^2.
=> x = √240 = 4√15 cm.

Gọi AM = 3MB = 3a, BN = 2NC = 2b, CP = 3PD = 3c.
Ta có AM + MB = AB = x = 4√15 cm.
=> 3a + a = 4√15.
=> 4a = 4√15.
=> a = √15.
=> AM = 3√15 cm, MB = √15 cm.

Tương tự, ta có BN = 2√15 cm, NC = √15 cm, CP = 3√15 cm, PD = √15 cm.

Gọi h là đường cao của tam giác ABC.
Ta có diện tích tam giác ABC là S_ABC = 1/2 * AB * h = 1/2 * 4√15 * h = 2√15h cm^2.

Gọi k là đường cao của tam giác CDP.
Ta có diện tích tam giác CDP là S_CDP = 1/2 * CP * k = 1/2 * 3√15 * k = 3/2√15k cm^2.

Vì QA = QD, nên đường cao của tam giác QCD cũng bằng k.
Ta có diện tích tam giác QCD là S_QCD = 1/2 * QC * k = 1/2 * 2√15 * k = √15k cm^2.

Vậy diện tích hình tứ giác MNPQ là S_MNPQ = S_ABC + S_CDP + S_QCD
= 2√15h + 3/2√15k + √15k
= 2√15h + 5/2√15k
= √15(2h + 5/2k) cm^2.

Để tính được diện tích hình tứ giác MNPQ, ta cần tìm giá trị của h và k.

Gọi I là giao điểm của đường thẳng AM và CP.
Ta có AI = AM + MI = AM + MB = 3√15 + √15 = 4√15 cm.
CI = CP - PI = CP - PD = 3√15 - √15 = 2√15 cm.

Gọi J là giao điểm của đường thẳng BN và CP.
Ta có BJ = BN + NJ = BN + NC = 2√15 + √15 = 3√15 cm.
CJ = CP - PJ = CP - PC = 3√15 - 3√15/2 = 3√15/2 cm.

Gọi K là giao điểm của đường thẳng CP và QD.
Ta có CK = CP + PK = CP + PD = 3√15 + √15 = 4√15 cm.
QK = QD - PK = QD - PD = √15 - √15/2 = √15/2 cm.

Vì tam giác ABC và tam giác QCD đồng dạng (có các cạnh tương ứng song song), nên ta có tỉ số đồng dạng:
h/√15 = k/√15/2
=> h = 2k.

Thay h = 2k vào công thức diện tích hình tứ giác MNPQ, ta có:
S_MNPQ = √15(2h + 5/2k)
= √15(2(2k) + 5/2k)
= √15(4k + 5/2k)
= √15(8k^2 + 5)/2k
= √15(8k^2 + 5)/2k.

Để tìm diện tích lớn nhất của hình tứ giác MNPQ, ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 8k^2 + 5.
Vì k > 0, nên biểu thức 8k^2 + 5 đạt giá trị lớn nhất khi k = 0.
=> h = 2k = 2 * 0 = 0.

Vậy diện tích lớn nhất của hình tứ giác MNPQ là S_MNPQ = √15(8k^2 + 5)/2k
= √15(8 * 0^2 + 5)/2 * 0
= √15(0 + 5)/0
= √15 * 5/0
= ∞.

Vậy diện tích hình tứ giác MNPQ là không xác định (vô cùng).