Để giải quyết các bài toán liên quan đến hình thoi ABCD với góc A = 60º và BH vuông góc với AD (H ∈ AD), chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần như sau:

### a) H là trung điểm AD

Vì BH vuông góc với AD và H ∈ AD, ta có:
- H là chân đường cao từ B xuống AD.

Trong hình thoi, các đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. Do đó, đường cao từ B xuống AD cũng chính là đường trung trực của AD. Vì vậy, H là trung điểm của AD.

### b) Tứ giác ABDE là hình thoi

Gọi E là điểm đối xứng với B qua H. Điều này có nghĩa là H là trung điểm của BE. Ta cần chứng minh rằng ABDE là hình thoi.

- Vì H là trung điểm của AD (đã chứng minh ở phần a), và H cũng là trung điểm của BE (do E đối xứng với B qua H), ta có:
- AD = BE (do H là trung điểm của cả hai đoạn thẳng này).

- Trong hình thoi ABCD, các cạnh đều bằng nhau, do đó AB = AD = BE = DE.

- Các góc tại A và B của tứ giác ABDE đều bằng 60º (do A = 60º và các góc tại đỉnh của hình thoi bằng nhau).

Vì các cạnh của tứ giác ABDE đều bằng nhau và các góc tại các đỉnh đều bằng nhau, tứ giác ABDE là hình thoi.

### c) D là trung điểm CE

Vì E là điểm đối xứng với B qua H, ta có:
- H là trung điểm của BE.

Do đó, đoạn CE có độ dài gấp đôi đoạn CH (vì H là trung điểm của BE và B đối xứng với E qua H).

Trong hình thoi ABCD, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. Vì vậy, D là trung điểm của AC và cũng là trung điểm của CE (vì C và E đối xứng nhau qua D).

### d) AC = BE

Trong hình thoi ABCD, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo và vuông góc với nhau. Đường chéo AC chia hình thoi thành hai tam giác đều với góc 60º.

- Đường chéo AC là đường chéo lớn của hình thoi và chia hình thoi thành hai tam giác đều với cạnh bằng nhau.

- Đường chéo BE là đường chéo nhỏ của hình thoi ABDE (đã chứng minh ở phần b).

Vì các cạnh của hình thoi ABDE đều bằng nhau và các góc tại các đỉnh đều bằng nhau, đường chéo BE của hình thoi ABDE cũng bằng đường chéo AC của hình thoi ABCD.

Do đó, AC = BE.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được các phần a, b, c và d của bài toán.