Để tìm các số nguyên tố p, q sao cho p^q + 2^p + 3 là số nguyên tố, ta có thể thử các giá trị của p và q.

Đầu tiên, ta thử với p = 2. Khi đó, p^q + 2^p + 3 = 2^q + 2^2 + 3 = 2^q + 7. Ta thấy rằng nếu q = 2, thì 2^q + 7 = 11 là số nguyên tố. Tuy nhiên, nếu q > 2, thì 2^q + 7 sẽ chia hết cho 2, do đó không phải là số nguyên tố.

Tiếp theo, ta thử với p = 3. Khi đó, p^q + 2^p + 3 = 3^q + 2^3 + 3 = 3^q + 11. Ta thấy rằng nếu q = 2, thì 3^q + 11 = 20 không phải là số nguyên tố. Nếu q = 3, thì 3^q + 11 = 38 cũng không phải là số nguyên tố. Tuy nhiên, nếu q = 5, thì 3^q + 11 = 244 là số nguyên tố.

Vậy, ta có một cặp số nguyên tố p = 3 và q = 5 sao cho p^q + 2^p + 3 là số nguyên tố.