Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ở ngoài đường tròn

Để chứng minh các phần trên, ta sẽ sử dụng các định lí sau:

Định lí 1: Trong một tam giác vuông, đường cao kẻ từ đỉnh vuông góc đến đáy chia tam giác thành hai tam giác vuông cân.

Định lí 2: Trong một tam giác vuông cân, đường cao kẻ từ đỉnh vuông góc đến đáy cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại điểm trên đường tròn ngoại tiếp.

Định lí 3: Trong một tam giác vuông cân, đường trung tuyến kẻ từ đỉnh vuông góc đến đáy là đường cao.

Định lí 4: Trong một tam giác vuông cân, đường trung tuyến kẻ từ đỉnh vuông góc đến đáy cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại điểm trên đường tròn ngoại tiếp.

Bây giờ ta sẽ chứng minh từng phần:

1) Ta có: $\angle KDF = 90^\circ$ (vì DF vuông góc với BC theo định lí 1) và $\angle KIF = 90^\circ$ (vì IF là đường cao của tam giác KIB theo định lí 2). Vậy tứ giác DKIF nội tiếp.

2) Ta có: $\angle BAC = \angle BIC$ (cùng nằm trên cung BC) và $\angle BCA = \angle BIA$ (cùng nằm trên cung BA). Vậy tam giác ABC và tam giác AIB đồng dạng. Từ đó suy ra: $\frac{AB}{BC} = \frac{AI}{BI}$. Mà ta có: $\frac{AB}{BC} = \frac{EK}{KC}$ (do đường thẳng AF cắt đường tròn tại I). Từ đó suy ra: $\frac{EK}{KC} = \frac{AI}{BI}$. Nhân hai vế với $KC \cdot BI$ ta được: $EK \cdot BI = AI \cdot KC$. Nhưng ta có: $AI \cdot KC = EI \cdot KC$ (vì I, E, K thẳng hàng). Vậy $EK \cdot BI = EI \cdot KC$. Từ đó suy ra: $AB^2 = EK \cdot EI$.

3) Ta có: $\angle BEC = \angle BIC$ (cùng nằm trên cung BC) và $\angle BCA = \angle BIA$ (cùng nằm trên cung BA). Vậy tam giác ABC và tam giác AIB đồng dạng. Từ đó suy ra: $\angle BAC = \angle BIC$. Nhưng ta cũng có: $\angle BAC = \angle BEC$ (do AB là tiếp tuyến của đường tròn (O)). Vậy $\angle BEC = \angle BIC$. Từ đó suy ra: BE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác KIB.

4) Ta sẽ chứng minh rằng điểm I nằm trên đường thẳng cố định khi (O) thay đổi nhưng vẫn đi qua BC. Gọi M là trung điểm của BC. Ta có: $\angle BAC = \angle BIC$ (cùng nằm trên cung BC) và $\angle BCA = \angle BIA$ (cùng nằm trên cung BA). Vậy tam giác ABC và tam giác AIB đồng dạng. Từ đó suy ra: $\frac{AB}{BC} = \frac{AI}{BI}$. Mà ta có: $\frac{AB}{BC} = \frac{AM}{MC}$ (do M là trung điểm của BC). Từ đó suy ra: $\frac{AM}{MC} = \frac{AI}{BI}$. Nhân hai vế với $MC \cdot BI$ ta được: $AM \cdot BI = AI \cdot MC$. Nhưng ta có: $AI \cdot MC = EI \cdot MC$ (vì I, E, K thẳng hàng). Vậy $AM \cdot BI = EI \cdot MC$. Từ đó suy ra: $EI = \frac{AM}{BI} \cdot MC$. Vì $\frac{AM}{BI}$ là một hằng số, nên ta có $EI$ luôn đi qua một điểm cố định khi (O) thay đổi nhưng vẫn đi qua BC.