a) Ta có:
- OM vuông góc AB tại M, nên OM là đường cao của tam giác OAB.
- NB cắt (O) tại C, nên NB là tiếp tuyến của (O).
- NE là tiếp tuyến của (O) (do E là tiếp điểm), nên NE cũng là tiếp tuyến của (O).
Vậy tứ giác OMNE là tứ giác nội tiếp trong đường tròn (O).

b) Ta có:
- NB là tiếp tuyến của (O), nên NB^2 = NC.NA.
- NE là tiếp tuyến của (O), nên NE^2 = NC.NA.
Vậy NE^2 = NB.NC.

c) Ta có:
- AC là đường chéo của tứ giác OMNC, nên AC đi qua trung điểm của đường chéo MN (ký hiệu là I).
- Ta có NE là tiếp tuyến của (O), nên góc NME = góc NCE (cùng chắn cung NE trên (O)).
- Ta có góc NCE = góc NCA (cùng nằm ngoài cùng).
- Ta có góc NCA = góc NEH (cùng nằm ngoài cùng).
Vậy góc NEH = góc NME.

d) Ta có:
- EF là đường phân giác góc NEH (do E là tiếp điểm của (O) và EH là tiếp tuyến của (O)).
- Ta có góc NEH = góc NME (đã chứng minh ở câu c).
- Ta có góc NME = góc NFE (cùng chắn cung NE trên (O)).
Vậy góc NEH = góc NFE.
Vậy E là tiếp tuyến của (O).