Giả sử f(x) có dạng f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0, với a_i là các số nguyên và n > 1.

Vì f(0) = 0, ta có a_0 = 0.
Vì f(1) = 2, ta có a_n + a_{n-1} + ... + a_1 + a_0 = 2.

Ta có thể viết lại f(x) dưới dạng f(x) = x(a_nx^{n-1} + a_{n-1}x^{n-2} + ... + a_1) = x(g(x)), với g(x) là một đa thức khác có hệ số nguyên.

Do đó, f(7) = 7g(7) = 7h, với h là một số nguyên.

Nếu f(7) là số chính phương, tức là f(7) = k^2 với k là một số nguyên, thì ta có 7h = k^2, suy ra k^2 chia hết cho 7. Điều này chỉ xảy ra khi k chia hết cho 7.

Nhưng từ f(1) = 2, ta thấy f(x) không chia hết cho 7 với mọi x, do đó f(7) không phải là số chính phương.