Cho tam giác MNP nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Vẽ 2 đường cao ME và NF cắt nhau tại H

Để chứng minh các phần a, b, c, ta thực hiện như sau:

a) Ta có:
- PF là đường cao của tam giác MNP nên PF vuông góc với MN tại N.
- HE là đường cao của tam giác MNP nên HE vuông góc với MP tại M.
Do đó, tứ giác PFHE là tứ giác nội tiếp.

- MF là đường cao của tam giác MNP nên MF vuông góc với NP tại N.
- EN là đường cao của tam giác MNP nên EN vuông góc với MP tại M.
Do đó, tứ giác MFEN cũng là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi I là giao điểm của Px và (O).
Ta có: ∠POI = 90° (do Px là tiếp tuyến của (O) tại P).
Vậy tứ giác OPIE là tứ giác nội tiếp.

Do PFHE là tứ giác nội tiếp nên ∠PFH = ∠PEH.
Tương tự, do tứ giác OPIE là tứ giác nội tiếp nên ∠PEH = ∠PIE.
Vậy ta có ∠PFH = ∠PIE.

Do tứ giác MFEN là tứ giác nội tiếp nên ∠MFE = ∠NEF.
Tương tự, do tứ giác OPIE là tứ giác nội tiếp nên ∠NEF = ∠OIE.
Vậy ta có ∠MFE = ∠OIE.

Từ đó, ta suy ra ∠PFH = ∠PIE = ∠MFE = ∠OIE.

c) Ta có: ∠POI = 90° (đã chứng minh ở phần b).
Vì tứ giác OPIE là tứ giác nội tiếp nên ∠OIE = ∠OPE.
Do ∠PFH = ∠PIE = ∠MFE = ∠OIE nên ta có ∠PFH = ∠OPE.

Vậy ta có ∠POF = ∠POE = 90°, tức là đường thẳng OP vuông góc với EF.