Cho A = 1 + 4^2 + 4^4 + 4^6+ ..... + 4^2022. Tính giá trị biểu thức P = 15A - 4^2024

Để giải bài toán này, ta cần tìm công thức tổng của dãy số hình thức \(1 + 4^2 + 4^4 + 4^6 + ... + 4^{2022}\).

Gọi \(S = 1 + 4^2 + 4^4 + 4^6 + ... + 4^{2022}\).

Nhân cả hai vế của \(S\) với 4, ta được:

\(4S = 4 + 4^3 + 4^5 + 4^7 + ... + 4^{2023}\).

Trừ cả hai phương trình, ta có:

\(4S - S = 4 + 4^3 + 4^5 + 4^7 + ... + 4^{2023} - (1 + 4^2 + 4^4 + 4^6 + ... + 4^{2022})\).

\(3S = 4^{2024} - 1\).

\(S = \frac{4^{2024} - 1}{3}\).

Vậy giá trị của \(A\) là:

\(A = \frac{4^{2024} - 1}{3}\).

Suy ra:

\(p = 15A - 4^{2024} = 15(\frac{4^{2024} - 1}{3}) - 4^{2024} = 5 \times 4^{2024} - 5 - 4^{2024} = 4^{2024} \times 4 - 5 = 4^{2025} - 5\).

Vậy giá trị của biểu thức \(p\) là \(4^{2025} - 5\).