a. Ta có:
$\angle HBM = \angle HCN$ (do BM và CN là hai đường cao của tam giác ABC)
$\angle HMB = \angle HNC$ (do BM và CN là hai đường cao của tam giác ABC)
$\Rightarrow \triangle HBM \sim \triangle HCN$ (theo góc - góc)

Do đó, ta có: $\frac{HB}{HC} = \frac{HM}{HN}$

$\Rightarrow HB.HM = HC.HN$

b. Ta có: $\angle NHM = \angle BHC$ (cùng là góc nhọn)

Và từ phần a, ta có: $\frac{HB}{HC} = \frac{HM}{HN}$

$\Rightarrow \triangle NHM \sim \triangle BHC$ (theo góc - giữa cạnh)

Vậy ta đã chứng minh được hai điều cần chứng minh.