Tìm giá trị nguyên của x để giá trị đa thức chia hết cho giá trị đa thức? Cho đa thức A(x) thỏa mãn. Chứng minh rằng đa thức A(x) có ít nhất 2 nghiệm phân biệt

a) Để giá trị đa thức 6x^3 - 7x^2 - 2x + 4 chia hết cho 2x - 1, ta cần tìm giá trị nguyên của x sao cho đa thức 6x^3 - 7x^2 - 2x + 4 chia hết cho 2x - 1.

Ta thực hiện phép chia đa thức 6x^3 - 7x^2 - 2x + 4 cho 2x - 1:
(6x^3 - 7x^2 - 2x + 4) : (2x - 1) = 3x^2 - 2x - 2 + 6

Để đa thức 3x^2 - 2x - 2 + 6 chia hết cho 2x - 1, ta cần giá trị của x sao cho 3x^2 - 2x - 2 + 6 = 0.
Suy ra, 3x^2 - 2x + 4 = 0
Dùng công thức giải phương trình bậc 2, ta có x = -1 hoặc x = 4.

Vậy giá trị nguyên của x để đa thức 6x^3 - 7x^2 - 2x + 4 chia hết cho 2x - 1 là x = -1 hoặc x = 4.

b) Ta có phương trình (x-2023) * A (x-2019) = (x-2024) * A (x-2020)
Đặt y = x - 2021, ta có phương trình sau: (y+2) * A(y+2) = (y+1) * A(y+3)

Đặt B(y) = A(y+2), ta có phương trình: (y+2) * B(y) = (y+1) * B(y+1)

Ta thấy rằng B(y) = c là một nghiệm của phương trình trên, với c là một hằng số bất kỳ.
Vậy A(y) = c là một nghiệm của phương trình ban đầu.

Do đó, đa thức A(x) có ít nhất 2 nghiệm phân biệt là x = 2019 và x = 2023.