Cho tam giác ABC nhọn có AB< AC .Gọi BD, CE là đường cao của tam giác ABC, I là trung điểm của BC

a) Ta có:
- Trong tam giác ABC, ta có BD ⊥ AC và CE ⊥ AB, nên ta có:
AD × AC = BD × AC = S(ABC) = AB × CE = AE × AB
- Góc ADE = 180° - góc BDE = 180° - góc ABC (vì tam giác ABC nhọn)

b) Gọi K là giao điểm của IH và MN. Ta cần chứng minh H là trung điểm của MN, tức là chứng minh MK = KN.
Ta có:
- Trong tam giác AIM vuông tại M, ta có: MK = MI × tan(góc AIM) = MI × tan(góc IAH)
- Trong tam giác AIN vuông tại N, ta có: NK = NI × tan(góc IAN) = NI × tan(góc HAI)
Vậy ta cần chứng minh MI × tan(góc IAH) = NI × tan(góc HAI), tức là chứng minh góc IAH = góc HAI.
Như vậy, ta cần chứng minh tam giác AIH đều.
Ta có:
- AI = BI = CI (vì I là trung điểm của BC)
- Góc AIB = góc AIC = 90° (vì AI là đường cao của tam giác ABC)
Vậy tam giác AIH đều, từ đó suy ra H là trung điểm của MN.