a/ Ta có tam giác ABH đồng dạng với tam giác CAH, nên:

\(\frac{AH}{AB} = \frac{CH}{CA}\)

Do tam giác ABC vuông tại A nên CA = BC, ta có:

\(\frac{AH}{AB} = \frac{CH}{BC}\)

\(AH \cdot BC = AB \cdot CH\)

\(AH^2 = BH \cdot CH\)

b/ Ta có BH = 4cm, BC = 13cm. Từ phần a/, ta có:

\(AH^2 = 4 \cdot 13\)

\(AH = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\) cm

Vì tam giác ABC vuông tại A nên theo định lý Pythagore, ta có:

\(AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{52 + 16} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}\) cm

c/ Ta có:

\(\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AH}\)

\(AE = \frac{AB \cdot AF}{AH}\)

\(AE \cdot CH = AH \cdot FC\)

d/ Để tam giác EHF có diện tích nhỏ nhất, ta cần tìm vị trí của điểm E sao cho \(AE \cdot CH = AH \cdot FC\) đạt giá trị nhỏ nhất. Để tìm vị trí này, ta cần vẽ đồ thị và sử dụng phương pháp giải tích.