Cho đa thức f(x)= x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d

Để giải bài toán này, ta sử dụng định lý chia đa thức.

Khi chia f(x) cho đa thức x-1, ta được phần dư là 2. Điều này có nghĩa là f(1) = 2.

Khi chia f(x) cho đa thức x-2, ta được phần dư là 5. Điều này có nghĩa là f(2) = 5.

Khi chia f(x) cho đa thức x-3, ta được phần dư là 10. Điều này có nghĩa là f(3) = 10.

Ta có thể viết f(x) dưới dạng:

f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)q(x) + r(x)

Trong đó q(x) là đa thức nào đó, r(x) là phần dư khi chia f(x) cho (x-1)(x-2)(x-3).

Vì r(x) là đa thức bậc nhỏ hơn 3, nên r(x) = ax^2 + bx + c.

Thay x = 1 vào phương trình f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)q(x) + r(x), ta được r(1) = f(1) = 2.

Thay x = 2 vào phương trình f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)q(x) + r(x), ta được r(2) = f(2) = 5.

Thay x = 3 vào phương trình f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)q(x) + r(x), ta được r(3) = f(3) = 10.

Giải hệ phương trình 3 phương trình 3 ẩn a, b, c, ta được a = 1, b = -6, c = 11.

Vậy f(x) = x^4 + x^3 - 6x^2 + 11x + d.

Để tính f(-1) + f(5), ta thay x = -1 và x = 5 vào f(x) và cộng lại:

f(-1) = (-1)^4 + (-1)^3 - 6(-1)^2 + 11(-1) + d = 1 - 1 - 6 - 11 + d = -17 + d

f(5) = 5^4 + 5^3 - 6(5)^2 + 11(5) + d = 625 + 125 - 150 - 55 + d = 545 + d

Vậy f(-1) + f(5) = (-17 + d) + (545 + d) = 528 + 2d.

Để tìm giá trị của f(-1) + f(5), ta cần tìm giá trị của d. Ta biết rằng khi chia f(x) cho x-1 thì dư 2, nên f(1) = 2. Thay x = 1 vào f(x), ta được:

f(1) = 1^4 + a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d = 1 + a + b + c + d = 2

Vì a = 1, b = -6, c = 11, ta có:

1 - 6 + 11 + d = 2

d = -6

Vậy f(-1) + f(5) = 528 + 2(-6) = 516.