Cho Tam giác nhọn ABC, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H, Chứng mình tam giác ADB ~ tâm giác AEC, chứng minh AD.AC= AE.AB, chứng minh góc ADE = góc ABC, gọi F là giao điểm của AH và BC

a) Ta có:
$\angle ADB = \angle AEC$ (do cùng chóc nhau với $\angle A$)
$\angle DAB = \angle EAC$ (do cùng chóc nhau với $\angle C$)
Vậy tam giác ADB tương đồng với tam giác AEC theo góc.

b) Ta có:
$\dfrac{AD}{AE} = \dfrac{BD}{CE}$ (do tam giác ADB tương đồng với tam giác AEC)
$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{BD}{BC}$ (do tam giác ADB đồng dạng với tam giác ABC)
$\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{CE}{BC}$ (do tam giác AEC đồng dạng với tam giác ABC)
Nhân hai vế của các phương trình trên ta được:
$AD.AC = AE.AB$

c) Ta có:
$\angle ADE = 180^\circ - \angle ADB = 180^\circ - \angle AEC = \angle ABC$

d) Ta có:
$\angle FED = \angle AED = \angle ABC$ (do tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC)
$\angle FDE = \angle ADB = \angle AEC$ (do tam giác ADB tương đồng với tam giác AEC)
Vậy $FA$ là tia phân giác của góc $FED$.

e) Áp dụng định lý Stewart trong tam giác $ABC$, ta có:
$BH^2.BD + CH^2.CE = AH^2.BC + BC.BH.CH$
Vì $AH = CH$ (do $AH$ và $CH$ là đường cao của tam giác $ABC$), nên ta được:
$BH.BD + CH.CE = BC^2$

Vậy đã chứng minh xong.