a) Ta có AH là đường cao của tam giác ABC vuông tại A nên \(HB < HC\) (do \(HB = \frac{AB^2}{AC} < \frac{AC^2}{AC} = AC\)).

b) Ta có \(HM = HB\) nên tam giác \(AHB\) và \(AHM\) có cạnh huyền chung AH và cạnh đối HM bằng nhau, cũng có góc \(H\) bằng nhau nên theo trường hợp đẳng thức cạnh-góc-cạnh, ta có \(∆AHB = ∆AHM\). Từ đó suy ra \(∆ABM\) là tam giác đều với \(AB = BM = AM\).

c) Gọi N là trung điểm của AC, ta có \(AN = \frac{AC}{2}\). Ta có \(∆ABN\) và \(∆AOM\) đồng dạng với nhau (cùng có góc \(A\) chung), nên \(\frac{AO}{AB} = \frac{OM}{BN} = \frac{AM}{AN} = \frac{AB}{\frac{AC}{2}} = \frac{AB}{AC} \times 2 = \frac{1}{2} \times 2 = 1\). Do đó, \(AO = AB = 4\) cm.

Vậy độ dài đoạn thẳng AO là 4 cm.