a) Ta có:
$\angle HBA = 90^\circ - \angle ABC = \angle BAC$
$\angle BHA = 90^\circ = \angle BCA$
Vậy tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC.

b) Ta có I là trung điểm của AH nên AI = IH.
Khi đó, ta có $\angle AIB = \angle BIC = 90^\circ$.
Vậy tam giác AIB đồng dạng với tam giác CIB.
Do đó, ta có:
$\frac{BA}{BI} = \frac{AI}{CI} = \frac{IH}{CI} = \frac{BH}{BC}$
$\Rightarrow BA = BI \cdot \frac{BH}{BC}$
Gọi E' là giao điểm của BC và đường thẳng vuông góc với BI đi qua C. Ta cần chứng minh E' trùng với E.
Ta có $\angle CBI = \angle E'BI = 90^\circ$ nên tam giác CBI đồng dạng với tam giác E'BI.
Do đó, ta có:
$\frac{BC}{BI} = \frac{CI}{EI'}$
$\Rightarrow BC = BI \cdot \frac{CI}{EI'}$
Kết hợp với $BA = BI \cdot \frac{BH}{BC}$, ta suy ra $BA = BI \cdot BE'$.
Vậy E' trùng với E, nên $BA = BI \cdot BE = BH \cdot BC$.

c) Ta có $\angle AHD = \angle AHD = 90^\circ$ nên tam giác AHD đồng dạng với tam giác ABC.
Do đó, ta có $\angle AHD = \angle ABC = \angle EBC$ nên tam giác EBC đồng dạng với tam giác AHD.
Vậy ta có $\angle EBC = \angle AHD = \angle ADH$ nên ba điểm C, E, D là thẳng hàng.