Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC) có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H

Gọi I là trung điểm của AH. Ta có:
- Vì tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) nên AH là đường cao của tam giác ABC.
- Vì tam giác ABC nhọn nên H nằm giữa B và C.
- Ta có: $\widehat{AIB} = \widehat{AIC} = 90^{\circ}$ nên I nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
- Do đó, ta có: $\widehat{AIB} = \widehat{AIC} = \widehat{AOC} = 90^{\circ}$.
- Vậy ta có tam giác AOC đồng dạng với tam giác AHB.
- Từ đó, ta có: $\dfrac{AM}{ME} = \dfrac{AH}{HI} = 2$.
- Vậy ta có: $AM = 2ME$.
- Ta có: $MK = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}AH = \dfrac{1}{2} \cdot 2HI = HI$.
- Vậy ta có: $AM \cdot MK = 2ME \cdot HI = ME^2$.
- Vậy ta chứng minh được $AM \cdot MK = ME^2$.