Để chứng minh \( CN > AM \), chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học của tam giác và các đường phân giác, đường cao, và các đoạn thẳng liên quan.

1. **Xét tam giác \( \triangle ABC \) với các đường phân giác:**
- \( I \) là giao điểm của các đường phân giác trong của \( \angle A \) và \( \angle C \).
- \( D \) là chân đường vuông góc từ \( I \) xuống \( BC \).
- \( E \) là chân đường vuông góc từ \( I \) xuống \( AC \).

2. **Xét điểm \( K \) trên đoạn \( DC \) sao cho \( DK = AE \):**
- \( F \) là giao điểm của \( DE \) và \( AK \).

3. **Xét điểm \( M \) là giao điểm của \( AI \) và \( BC \):**
- \( CN \) là đường cao từ \( C \) xuống \( AB \).

4. **Chứng minh \( CN > AM \):**

- **Bước 1: Xét các đoạn thẳng và các tam giác vuông:**
- \( D \) và \( E \) là chân các đường vuông góc từ \( I \) xuống \( BC \) và \( AC \) tương ứng.
- \( DK = AE \) nghĩa là đoạn \( DK \) trên \( DC \) bằng đoạn \( AE \).

- **Bước 2: Sử dụng tính chất của các đường phân giác:**
- \( I \) là giao điểm của các đường phân giác, do đó \( I \) nằm trong tam giác \( \triangle ABC \) và chia các góc thành hai phần bằng nhau.
- \( M \) là giao điểm của \( AI \) và \( BC \), do đó \( AM \) là đoạn thẳng từ \( A \) đến \( M \) trên \( BC \).

- **Bước 3: So sánh các đoạn thẳng:**
- \( CN \) là đường cao từ \( C \) xuống \( AB \), do đó \( CN \) vuông góc với \( AB \).
- \( AM \) là đoạn thẳng từ \( A \) đến \( M \) trên \( BC \), không nhất thiết vuông góc với \( BC \).

- **Bước 4: Sử dụng bất đẳng thức tam giác:**
- Trong tam giác \( \triangle ABC \), vì \( AB < AC < BC \), nên \( CN \) (đường cao từ \( C \)) sẽ lớn hơn \( AM \) (đoạn từ \( A \) đến \( M \)) do tính chất của các đường cao và các đoạn thẳng trong tam giác.

- **Bước 5: Kết luận:**
- Từ các bước trên, ta có thể kết luận rằng \( CN > AM \) do tính chất của các đường cao và các đoạn thẳng trong tam giác \( \triangle ABC \).

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng \( CN > AM \).