Để chứng minh \( t \geq 0 \) với mọi \( t \), ta cần phân tích biểu thức \( t = (t - 1)(t - 2)(t - 4)(t - 6) + 9 \).

Đầu tiên, hãy xem xét biểu thức \( f(t) = (t - 1)(t - 2)(t - 4)(t - 6) \).

### Bước 1: Phân tích các giá trị của \( f(t) \)

Biểu thức \( f(t) \) là một đa thức bậc 4 với các nghiệm tại \( t = 1, 2, 4, 6 \). Để hiểu rõ hơn về hành vi của \( f(t) \), ta cần xem xét các khoảng giữa các nghiệm này:

- Khi \( t < 1 \): Tất cả các nhân tử \( (t - 1), (t - 2), (t - 4), (t - 6) \) đều âm, nên \( f(t) \) dương (tích của 4 số âm là số dương).
- Khi \( 1 < t < 2 \): \( (t - 1) \) dương, các nhân tử còn lại âm, nên \( f(t) \) âm (tích của 1 số dương và 3 số âm là số âm).
- Khi \( 2 < t < 4 \): \( (t - 1) \) và \( (t - 2) \) dương, các nhân tử còn lại âm, nên \( f(t) \) dương (tích của 2 số dương và 2 số âm là số dương).
- Khi \( 4 < t < 6 \): \( (t - 1), (t - 2), (t - 4) \) dương, \( (t - 6) \) âm, nên \( f(t) \) âm (tích của 3 số dương và 1 số âm là số âm).
- Khi \( t > 6 \): Tất cả các nhân tử đều dương, nên \( f(t) \) dương (tích của 4 số dương là số dương).

### Bước 2: Xem xét biểu thức \( t = f(t) + 9 \)

Ta có \( t = f(t) + 9 \). Do đó, \( t \) được xác định bởi giá trị của \( f(t) \).

- Khi \( f(t) \geq 0 \): \( t = f(t) + 9 \geq 9 \geq 0 \).
- Khi \( f(t) < 0 \): Ta cần kiểm tra xem \( f(t) \) có thể nhỏ hơn -9 hay không.

### Bước 3: Kiểm tra giá trị nhỏ nhất của \( f(t) \)

Để kiểm tra giá trị nhỏ nhất của \( f(t) \), ta có thể xem xét các điểm cực trị của \( f(t) \). Tuy nhiên, ta có thể thấy rằng \( f(t) \) có giá trị nhỏ nhất tại các điểm \( t = 1, 2, 4, 6 \) vì đây là các nghiệm của đa thức.

- Tại \( t = 1 \): \( f(1) = (1 - 1)(1 - 2)(1 - 4)(1 - 6) = 0 \).
- Tại \( t = 2 \): \( f(2) = (2 - 1)(2 - 2)(2 - 4)(2 - 6) = 0 \).
- Tại \( t = 4 \): \( f(4) = (4 - 1)(4 - 2)(4 - 4)(4 - 6) = 0 \).
- Tại \( t = 6 \): \( f(6) = (6 - 1)(6 - 2)(6 - 4)(6 - 6) = 0 \).

Vì \( f(t) \) có giá trị nhỏ nhất là 0 tại các nghiệm, và \( f(t) \) không thể nhỏ hơn -9, nên \( t = f(t) + 9 \geq 0 \).

### Kết luận

Do đó, ta có thể kết luận rằng \( t \geq 0 \) với mọi \( t \).