Để giải biểu thức \( \frac{x \sqrt{x} + 27}{\sqrt{x} + 3} \), ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Phân tích tử số**: Ta sẽ xem xét tử số \( x \sqrt{x} + 27 \) để tìm cách phân tích nó sao cho có thể chia được cho mẫu số \( \sqrt{x} + 3 \).

2. **Phân tích tử số theo mẫu số**: Ta thử viết lại tử số dưới dạng \( A (\sqrt{x} + 3) + B \), trong đó \( A \) và \( B \) là các biểu thức sao cho khi nhân với \( \sqrt{x} + 3 \) sẽ ra tử số ban đầu.

3. **Thực hiện phép chia**: Ta sẽ thực hiện phép chia đa thức để tìm \( A \) và \( B \).

Bắt đầu bằng cách phân tích tử số:

\[ x \sqrt{x} + 27 \]

Ta thử viết lại tử số dưới dạng \( A (\sqrt{x} + 3) + B \):

Giả sử \( A = \sqrt{x} \), ta có:

\[ A (\sqrt{x} + 3) = \sqrt{x} (\sqrt{x} + 3) = x + 3\sqrt{x} \]

Như vậy, tử số có thể được viết lại như sau:

\[ x \sqrt{x} + 27 = (\sqrt{x} (\sqrt{x} + 3)) \sqrt{x} + 27 \]

Tuy nhiên, cách này không trực tiếp giúp ta phân tích tử số. Thay vào đó, ta thử viết lại tử số dưới dạng:

\[ x \sqrt{x} + 27 = (\sqrt{x} + 3)(A \sqrt{x} + B) \]

Giả sử \( A = \sqrt{x} \) và \( B = 9 \), ta có:

\[ (\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} + 9) = (\sqrt{x} + 3)(x + 9) \]

Khi đó:

\[ (\sqrt{x} + 3)(x + 9) = x \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + 3x + 27 \]

So sánh với tử số ban đầu \( x \sqrt{x} + 27 \), ta thấy rằng:

\[ x \sqrt{x} + 27 = x \sqrt{x} + 0 \cdot \sqrt{x} + 0 \cdot x + 27 \]

Do đó, ta có thể viết lại tử số như sau:

\[ x \sqrt{x} + 27 = (\sqrt{x} + 3)(x \sqrt{x} + 9) \]

Vậy biểu thức ban đầu có thể được viết lại và đơn giản hóa như sau:

\[ \frac{x \sqrt{x} + 27}{\sqrt{x} + 3} = \frac{(\sqrt{x} + 3)(x \sqrt{x} + 9)}{\sqrt{x} + 3} \]

Khi đó, ta có thể rút gọn:

\[ \frac{(\sqrt{x} + 3)(x \sqrt{x} + 9)}{\sqrt{x} + 3} = x \sqrt{x} + 9 \]

Vậy kết quả của biểu thức là:

\[ x \sqrt{x} + 9 \]