Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(D\) là trung điểm của \(AB\) và \(E\) là trung điểm của \(AC\). Trên tia đối của tia \(ED\) lấy điểm \(F\) sao cho \(EF = ED\).

a) Chứng minh tam giác \(ADE\) bằng tam giác \(CFE\):

- Ta có \(D\) là trung điểm của \(AB\) nên \(AD = DB\).
- Ta có \(E\) là trung điểm của \(AC\) nên \(AE = EC\).
- Theo giả thiết, \(EF = ED\).

Xét tam giác \(ADE\) và tam giác \(CFE\):
- \(AD = EC\) (do \(D\) và \(E\) là trung điểm của \(AB\) và \(AC\)).
- \(AE = EC\) (do \(E\) là trung điểm của \(AC\)).
- \(DE = EF\) (theo giả thiết).

Do đó, tam giác \(ADE\) bằng tam giác \(CFE\) theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh (CCC).

b) Chứng minh \(DB = CF\) và \(DB \parallel CF\):

- Ta đã chứng minh tam giác \(ADE\) bằng tam giác \(CFE\), do đó các cạnh tương ứng bằng nhau. Cụ thể, \(AD = EC\), \(AE = EC\), và \(DE = EF\).
- Vì \(D\) là trung điểm của \(AB\) và \(E\) là trung điểm của \(AC\), nên \(DB = AD\) và \(CF = EC\).
- Do \(AD = EC\), ta có \(DB = CF\).

Để chứng minh \(DB \parallel CF\), ta xét các tam giác \(ADB\) và \(CFE\):
- Ta có \(AD = EC\) và \(DB = CF\).
- Góc \(ADE = CFE\) (do tam giác \(ADE\) bằng tam giác \(CFE\)).

Do đó, hai tam giác \(ADB\) và \(CFE\) đồng dạng, suy ra \(DB \parallel CF\).

c) Chứng minh \(DE \parallel BC\) và \(DE = \frac{1}{2} BC\):

- Vì \(D\) là trung điểm của \(AB\) và \(E\) là trung điểm của \(AC\), nên \(DE\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).
- Theo định lý đường trung bình trong tam giác, đường trung bình nối hai trung điểm của hai cạnh của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa độ dài cạnh đó.

Do đó, \(DE \parallel BC\) và \(DE = \frac{1}{2} BC\).