Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hình thang và trung điểm.

**Phần a: Chứng minh AK = KC và BI = ID**

1. **Chứng minh AK = KC:**

- E là trung điểm của BC, nên BE = EC.
- I là trung điểm của BD, nên BI = ID.
- Xét tam giác BCD, E và I lần lượt là trung điểm của BC và BD.
- Đường thẳng EI là đường trung bình của tam giác BCD, nên EI song song với CD và EI = 1/2 CD.

Xét tam giác ABC:
- E là trung điểm của BC.
- Đường thẳng EI cắt AC tại K.

Do EI là đường trung bình của tam giác BCD, nên EI song song với CD và EI = 1/2 CD. Vì EI song song với CD và AB song song với CD (do ABCD là hình thang), nên EI cũng song song với AB.

Trong tam giác ABC, K là giao điểm của đường thẳng EI và AC. Do E là trung điểm của BC và EI song song với AB, nên K là trung điểm của AC (theo định lý đường trung bình trong tam giác).

Vậy, AK = KC.

2. **Chứng minh BI = ID:**

- I là trung điểm của BD, nên BI = ID.

**Phần b: Tính độ dài các đoạn EI, KF, IK**

1. **Tính độ dài EI:**

- EI là đường trung bình của tam giác BCD, nên EI = 1/2 CD.
- CD = 10 cm, nên EI = 1/2 * 10 = 5 cm.

2. **Tính độ dài KF:**

- F là giao điểm của EI và BC.
- Do E là trung điểm của BC, nên BF = FC.
- Vì EI là đường trung bình của tam giác BCD, nên EI song song với CD và EI = 1/2 CD.
- Trong tam giác ABC, K là trung điểm của AC, nên AK = KC.

Do EI song song với AB và CD, nên KF = 1/2 BC.

3. **Tính độ dài IK:**

- I là trung điểm của BD.
- K là trung điểm của AC.
- Do EI là đường trung bình của tam giác BCD, nên EI = 1/2 CD.

Trong tam giác ABC, K là trung điểm của AC, nên AK = KC.

Từ các tính chất trên, ta có thể tính được độ dài các đoạn EI, KF, IK như sau:

- EI = 5 cm.
- KF = 1/2 BC.
- IK = 1/2 BD.

Tuy nhiên, để tính chính xác độ dài KF và IK, ta cần biết độ dài của BC và BD. Nếu không có thông tin thêm về độ dài của BC và BD, ta chỉ có thể tính được EI = 5 cm.