Để tính số đo góc \( \angle AKH \) trong hình bình hành \( ABCD \) với tam giác nhọn \( ABC \) và \( \angle C = 40^\circ \), chúng ta thực hiện các bước sau:

1. **Xác định các góc trong hình bình hành:**
- Vì \( ABCD \) là hình bình hành, các góc đối diện bằng nhau. Do đó, \( \angle DAB = \angle BCD \) và \( \angle ABC = \angle CDA \).
- Trong tam giác \( ABC \), ta có \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \). Với \( \angle C = 40^\circ \), ta có:
\[
\angle A + \angle B = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ
\]

2. **Xác định các góc trong tam giác \( ACD \):**
- Vì \( ABCD \) là hình bình hành, \( \angle CDA = \angle ABC \).
- Ta có \( \angle ACD = \angle B \) và \( \angle CAD = \angle A \).

3. **Xác định các đường cao \( AH \) và \( AK \):**
- \( AH \) là đường cao của tam giác \( ABC \), do đó \( AH \) vuông góc với \( BC \).
- \( AK \) là đường cao của tam giác \( ACD \), do đó \( AK \) vuông góc với \( CD \).

4. **Tính số đo góc \( \angle AKH \):**
- Vì \( AH \) vuông góc với \( BC \) và \( AK \) vuông góc với \( CD \), ta cần xác định mối quan hệ giữa \( BC \) và \( CD \).
- Trong hình bình hành, \( BC \parallel AD \) và \( AB \parallel CD \). Do đó, \( BC \parallel CD \).

5. **Xác định góc giữa hai đường cao:**
- Vì \( BC \parallel CD \), hai đường cao \( AH \) và \( AK \) đều vuông góc với các cạnh song song này. Do đó, \( AH \parallel AK \).
- Khi hai đường thẳng song song, góc giữa chúng là \( 0^\circ \).

Vậy, số đo góc \( \angle AKH \) là \( 0^\circ \).