Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các định lý và công thức hình học cơ bản.

### a) Giải tam giác ABC

Tam giác ABC vuông tại A, với AC = 3 cm và AB = 4 cm. Ta cần tìm độ dài cạnh BC và các góc của tam giác.

1. **Tính độ dài cạnh BC:**
Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
\[
BC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25
\]
\[
BC = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}
\]

2. **Tính các góc của tam giác ABC:**
- Góc \( \angle BAC \) là góc vuông, nên \( \angle BAC = 90^\circ \).
- Sử dụng định lý sin để tính các góc còn lại:
\[
\sin \angle ABC = \frac{AC}{BC} = \frac{3}{5} \implies \angle ABC = \arcsin\left(\frac{3}{5}\right)
\]
Sử dụng máy tính để tính góc:
\[
\angle ABC \approx 36.87^\circ \approx 37^\circ \text{ (làm tròn đến độ)}
\]
- Góc \( \angle ACB \) có thể tính bằng cách:
\[
\angle ACB = 90^\circ - \angle ABC \approx 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ
\]

### b) Tính diện tích tam giác AHC

Để tính diện tích tam giác AHC, ta cần biết độ dài AH và HC.

1. **Tính độ dài AH:**
Sử dụng công thức đường cao trong tam giác vuông:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{4 \cdot 3}{5} = \frac{12}{5} = 2.4 \text{ cm}
\]

2. **Tính độ dài HC:**
Trong tam giác vuông, H chia BC thành hai đoạn BH và HC. Ta có:
\[
BH = \frac{AB^2}{BC} = \frac{4^2}{5} = \frac{16}{5} = 3.2 \text{ cm}
\]
\[
HC = BC - BH = 5 - 3.2 = 1.8 \text{ cm}
\]

3. **Tính diện tích tam giác AHC:**
Diện tích tam giác AHC được tính bằng:
\[
S_{AHC} = \frac{1}{2} \times AH \times HC = \frac{1}{2} \times 2.4 \times 1.8 = \frac{1}{2} \times 4.32 = 2.16 \text{ cm}^2
\]

Vậy diện tích tam giác AHC là \( 2.16 \text{ cm}^2 \).