Để tìm giá trị của \( x \) trong phương trình \( \left|\frac{1}{2}x + \frac{2}{3}\right| - \left|\frac{3}{4}\right| = \frac{4}{5} \), chúng ta sẽ làm theo các bước sau:

1. Đầu tiên, tính giá trị của \( \left|\frac{3}{4}\right| \):
\[
\left|\frac{3}{4}\right| = \frac{3}{4}
\]

2. Thay giá trị này vào phương trình ban đầu:
\[
\left|\frac{1}{2}x + \frac{2}{3}\right| - \frac{3}{4} = \frac{4}{5}
\]

3. Chuyển \(\frac{3}{4}\) sang vế phải của phương trình:
\[
\left|\frac{1}{2}x + \frac{2}{3}\right| = \frac{4}{5} + \frac{3}{4}
\]

4. Tính tổng của \(\frac{4}{5}\) và \(\frac{3}{4}\):
\[
\frac{4}{5} + \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4 + 3 \cdot 5}{5 \cdot 4} = \frac{16 + 15}{20} = \frac{31}{20}
\]

5. Do đó, phương trình trở thành:
\[
\left|\frac{1}{2}x + \frac{2}{3}\right| = \frac{31}{20}
\]

6. Bây giờ, chúng ta sẽ giải phương trình tuyệt đối bằng cách xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: \(\frac{1}{2}x + \frac{2}{3} = \frac{31}{20}\)
- Trường hợp 2: \(\frac{1}{2}x + \frac{2}{3} = -\frac{31}{20}\)

**Trường hợp 1:**
\[
\frac{1}{2}x + \frac{2}{3} = \frac{31}{20}
\]
Trừ \(\frac{2}{3}\) từ cả hai vế:
\[
\frac{1}{2}x = \frac{31}{20} - \frac{2}{3}
\]
Quy đồng mẫu số:
\[
\frac{31}{20} - \frac{2}{3} = \frac{31 \cdot 3 - 2 \cdot 20}{60} = \frac{93 - 40}{60} = \frac{53}{60}
\]
Nhân cả hai vế với 2:
\[
x = 2 \cdot \frac{53}{60} = \frac{106}{60} = \frac{53}{30}
\]

**Trường hợp 2:**
\[
\frac{1}{2}x + \frac{2}{3} = -\frac{31}{20}
\]
Trừ \(\frac{2}{3}\) từ cả hai vế:
\[
\frac{1}{2}x = -\frac{31}{20} - \frac{2}{3}
\]
Quy đồng mẫu số:
\[
-\frac{31}{20} - \frac{2}{3} = \frac{-31 \cdot 3 - 2 \cdot 20}{60} = \frac{-93 - 40}{60} = \frac{-133}{60}
\]
Nhân cả hai vế với 2:
\[
x = 2 \cdot \frac{-133}{60} = \frac{-266}{60} = \frac{-133}{30}
\]

Vậy, hai giá trị của \( x \) thỏa mãn phương trình là:
\[
x = \frac{53}{30} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{-133}{30}
\]