Để tính diện tích hình thang ABCD với AB // CD, ta cần biết chiều cao của hình thang. Hình thang ABCD có góc D = 90 độ và góc C = 38 độ, điều này cho thấy rằng tam giác ACD là tam giác vuông tại D.

Trước tiên, ta sẽ tính chiều cao AD của hình thang. Ta có tam giác vuông ACD với góc C = 38 độ và cạnh AC = 3,1 cm.

Sử dụng định lý sin trong tam giác vuông:
\[ \sin(C) = \frac{AD}{AC} \]

Do đó:
\[ AD = AC \cdot \sin(C) = 3,1 \cdot \sin(38^\circ) \]

Sử dụng máy tính để tính giá trị của \(\sin(38^\circ)\):
\[ \sin(38^\circ) \approx 0,6157 \]

Vậy:
\[ AD = 3,1 \cdot 0,6157 \approx 1,908 \text{ cm} \]

Bây giờ, ta đã biết chiều cao AD của hình thang. Để tính diện tích hình thang ABCD, ta sử dụng công thức diện tích hình thang:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot (AB + CD) \cdot h \]

Trong đó:
- \( AB = 3,5 \text{ cm} \)
- \( h = AD \approx 1,908 \text{ cm} \)

Ta cần tính độ dài CD. Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ACD:
\[ CD^2 = AC^2 - AD^2 \]

Thay giá trị vào:
\[ CD^2 = 3,1^2 - 1,908^2 \]
\[ CD^2 = 9,61 - 3,64 \]
\[ CD^2 = 5,97 \]
\[ CD \approx \sqrt{5,97} \approx 2,44 \text{ cm} \]

Bây giờ, ta có thể tính diện tích hình thang:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot (AB + CD) \cdot h \]
\[ S = \frac{1}{2} \cdot (3,5 + 2,44) \cdot 1,908 \]
\[ S = \frac{1}{2} \cdot 5,94 \cdot 1,908 \]
\[ S \approx \frac{1}{2} \cdot 11,34 \]
\[ S \approx 5,67 \text{ cm}^2 \]

Vậy diện tích hình thang ABCD là khoảng 5,67 cm².