Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành qua từng phần a) và b).

### a) Chứng minh rằng \( A, M, N, D \) thuộc 1 đường tròn.

1. **Xác định vị trí các điểm**:
- Giả sử hình vuông \( ABCD \) có đỉnh tại tọa độ:
- \( A(0, 1) \)
- \( B(1, 1) \)
- \( C(1, 0) \)
- \( D(0, 0) \)
- Điểm \( O \) là giao điểm của hai đường chéo \( AC \) và \( BD \), nên \( O \) sẽ có tọa độ \( O\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right) \).

2. **Tìm toạ độ các điểm \( M \) và \( N \)**:
- Điểm \( M \) là trung điểm của \( OB \):
\[
M\left( \frac{\frac{1}{2} + 1}{2}, \frac{\frac{1}{2} + 1}{2} \right) = M\left( \frac{3}{4}, \frac{3}{4} \right)
\]
- Điểm \( N \) là trung điểm của \( CD \):
\[
N\left( \frac{1 + 0}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = N\left( \frac{1}{2}, 0 \right)
\]

3. **Chứng minh bốn điểm \( A, M, N, D \) cùng nằm trên một đường tròn**:
- Ta sẽ chứng minh rằng các điểm này đồng tâm với một điểm nhất định. Ta sử dụng tính chất hình học của định lý Ptolemy hoặc định lý về độ dài đoạn thẳng.
- Ta tính độ dài các đoạn thẳng \( AM, AN, AD, MD, MN \) và sau đó kiểm tra điều kiện rằng \( AM \cdot ND + AN \cdot MD = AD \cdot MN \).

### b) So sánh \( AN \) và \( DM \)

1. **Tính độ dài \( AN \) và \( DM \)**:
- Định nghĩa:
- \( AN = \sqrt{\left(0 - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(1 - 0\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \)
- \( DM = \sqrt{\left(0 - \frac{3}{4}\right)^2 + \left(0 - \frac{3}{4}\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{3}{4}\right)^2 + \left(-\frac{3}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{18}{16}} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \)

2. **So sánh**:
- Ta so sánh \( AN \) và \( DM \) bằng cách đưa về cùng một hệ để so sánh trực tiếp.

Kết quả cuối cùng sẽ dẫn đến một trong hai trường hợp:
- Nếu \( AN > DM \)
- Nếu \( AN < DM \)
- Nếu \( AN = DM \)

### Kết luận
Để đưa ra đáp án chính xác, ta cần thực hiện các tính toán cụ thể cho từng khoảng cách và so sánh.