Người ta muốn làm một khung gỗ hình tam giác đều có cạnh 10√10 (cm) để đặt vừa khít một đồng hồ treo tường (như hình vẽ)

Để tính đường kính chiếc đồng hồ đặt trong khung tam giác đều có cạnh \(10\sqrt{10}\) cm, ta sẽ thực hiện như sau:

1. **Tính chiều cao của tam giác đều**:
Chiều cao \(h\) của một tam giác đều có cạnh \(a\) được tính bằng công thức:
\[
h = \frac{\sqrt{3}}{2} a
\]
Với \(a = 10\sqrt{10}\):
\[
h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 10\sqrt{10} = 5\sqrt{30} \text{ cm}
\]

2. **Tính bán kính đường tròn nội tiếp**:
Bán kính của đường tròn nội tiếp \(r\) trong một tam giác đều là:
\[
r = \frac{h}{3}
\]
Thay \(h\) vào công thức:
\[
r = \frac{5\sqrt{30}}{3} \text{ cm}
\]

3. **Tính đường kính**:
Đường kính \(D\) của đường tròn sẽ là:
\[
D = 2r = 2 \times \frac{5\sqrt{30}}{3} = \frac{10\sqrt{30}}{3} \text{ cm}
\]

Kết luận: Đường kính chiếc đồng hồ cần để vừa khít là \(\frac{10\sqrt{30}}{3} \text{ cm}\).