Để tìm các số nguyên dương \(a, b, c\) thỏa mãn các điều kiện:
1. \(a = a^2 \cdot b + b^2\)
2. \(a^2 + 4\) là số nguyên tố,

ta sẽ phân tích từng điều kiện một.

### Điều kiện 1: \(a = a^2 \cdot b + b^2\)

Ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng:
\[ a = a^2 b + b^2 \]
\[ a = b^2 (a^2 + 1) \]

### Điều kiện 2: \(a^2 + 4\) là số nguyên tố

Để \(a^2 + 4\) là số nguyên tố, ta cần kiểm tra các giá trị của \(a\) sao cho \(a^2 + 4\) là số nguyên tố.

#### Bước 1: Kiểm tra các giá trị nhỏ của \(a\)

1. \(a = 1\):
\[ a^2 + 4 = 1^2 + 4 = 5 \]
5 là số nguyên tố. Vậy \(a = 1\) có thể là một giá trị hợp lệ. Kiểm tra lại điều kiện 1:
\[ 1 = 1^2 \cdot b + b^2 \]
\[ 1 = b + b^2 \]
\[ b^2 + b - 1 = 0 \]
Phương trình này không có nghiệm nguyên dương, do đó \(a = 1\) không thỏa mãn.

2. \(a = 2\):
\[ a^2 + 4 = 2^2 + 4 = 8 \]
8 không phải là số nguyên tố, do đó \(a = 2\) không thỏa mãn.

3. \(a = 3\):
\[ a^2 + 4 = 3^2 + 4 = 13 \]
13 là số nguyên tố. Vậy \(a = 3\) có thể là một giá trị hợp lệ. Kiểm tra lại điều kiện 1:
\[ 3 = 3^2 \cdot b + b^2 \]
\[ 3 = 9b + b^2 \]
\[ b^2 + 9b - 3 = 0 \]
Phương trình này không có nghiệm nguyên dương, do đó \(a = 3\) không thỏa mãn.

4. \(a = 4\):
\[ a^2 + 4 = 4^2 + 4 = 20 \]
20 không phải là số nguyên tố, do đó \(a = 4\) không thỏa mãn.

5. \(a = 5\):
\[ a^2 + 4 = 5^2 + 4 = 29 \]
29 là số nguyên tố. Vậy \(a = 5\) có thể là một giá trị hợp lệ. Kiểm tra lại điều kiện 1:
\[ 5 = 5^2 \cdot b + b^2 \]
\[ 5 = 25b + b^2 \]
\[ b^2 + 25b - 5 = 0 \]
Phương trình này không có nghiệm nguyên dương, do đó \(a = 5\) không thỏa mãn.

#### Bước 2: Tiếp tục kiểm tra các giá trị lớn hơn của \(a\)

Qua các bước kiểm tra trên, ta thấy rằng không có giá trị nào của \(a\) thỏa mãn cả hai điều kiện đã cho. Do đó, không tồn tại các số nguyên dương \(a, b, c\) thỏa mãn cả hai điều kiện trên.