Để chứng minh rằng BK là tia phân giác của góc B trong tam giác ABC cân tại B, ta làm như sau:

1. **Xét tam giác ABC cân tại B:**
- Do tam giác ABC cân tại B, nên AB = BC.
- Góc BAC = góc BCA.

2. **Kẻ các đường vuông góc:**
- Qua A kẻ đường vuông góc với AB, gọi là đường thẳng d1.
- Qua C kẻ đường vuông góc với CB, gọi là đường thẳng d2.
- Hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau tại K.

3. **Xét các góc vuông:**
- Do d1 vuông góc với AB tại A, nên góc KAB = 90 độ.
- Do d2 vuông góc với CB tại C, nên góc KCB = 90 độ.

4. **Xét tam giác AKB và tam giác CKC:**
- Trong tam giác AKB, góc KAB = 90 độ.
- Trong tam giác CKC, góc KCB = 90 độ.
- Do AB = BC (tam giác ABC cân tại B), nên AK = CK (vì K là giao điểm của hai đường vuông góc).

5. **Chứng minh BK là tia phân giác của góc B:**
- Xét tam giác AKB và tam giác CKC:
- AK = CK (đã chứng minh ở trên).
- Góc KAB = góc KCB = 90 độ.
- BK là cạnh chung.
- Do đó, tam giác AKB và tam giác CKC là hai tam giác vuông bằng nhau (theo trường hợp cạnh huyền và một cạnh góc vuông bằng nhau).
- Suy ra, góc ABK = góc CBK.

Vậy, BK là tia phân giác của góc B trong tam giác ABC cân tại B.