Để tính các biểu thức \( A \) và \( B \), ta sẽ sử dụng công thức của một cấp số nhân.

### Phần a: Tính \( A = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{199} \)

Biểu thức này là một cấp số nhân với:
- Số hạng đầu \( a = 2 \)
- Tỉ lệ chung \( q = 2 \)
- Số hạng cuối \( n = 199 \)

Số hạng cuối trong biểu thức có thể được thay đổi thành \( 2^{199} \). Số hạng tổng cộng là \( n - 1 + 1 = 199 - 1 + 1 = 199 \).

Công thức tính tổng của cấp số nhân là:

\[
S_n = a \frac{q^n - 1}{q - 1}
\]

Áp dụng cho trường hợp của chúng ta:

\[
A = 2 \frac{2^{199} - 1}{2 - 1} = 2(2^{199} - 1) = 2^{200} - 2
\]

### Phần b: Tính \( B = 1 + 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{99} \)

Biểu thức này cũng là cấp số nhân với:
- Số hạng đầu \( a = 1 \)
- Tỉ lệ chung \( q = 5 \)
- Số hạng cuối \( n = 99 \)

Số hạng tổng cộng là \( 99 - 1 + 1 = 99 \).

Áp dụng công thức tổng cấp số nhân:

\[
B = 1 \frac{5^{100} - 1}{5 - 1} = \frac{5^{100} - 1}{4}
\]

### Kết quả:
- \( A = 2^{200} - 2 \)
- \( B = \frac{5^{100} - 1}{4} \)