Để xác định các tập hợp và biểu diễn chúng trên trục số, ta cần tìm giao của các tập hợp đã cho. Các tập hợp đã cho là:
- \( A = [-2, 4] \)
- \( B = (2, +\infty) \)
- \( C = (-\infty, 3) \)

a) \( A \cap B \):
- \( A = [-2, 4] \)
- \( B = (2, +\infty) \)
- Giao của \( A \) và \( B \) là các phần tử chung của cả hai tập hợp. Từ \( A \), ta có đoạn từ \(-2\) đến \(4\), và từ \( B \), ta có đoạn từ \(2\) đến \(+\infty\). Phần chung là đoạn từ \(2\) đến \(4\) nhưng không bao gồm \(2\) vì \(2\) không thuộc \( B \).

Vậy \( A \cap B = (2, 4] \).

b) \( B \cap C \):
- \( B = (2, +\infty) \)
- \( C = (-\infty, 3) \)
- Giao của \( B \) và \( C \) là các phần tử chung của cả hai tập hợp. Từ \( B \), ta có đoạn từ \(2\) đến \(+\infty\), và từ \( C \), ta có đoạn từ \(-\infty\) đến \(3\). Phần chung là đoạn từ \(2\) đến \(3\) nhưng không bao gồm \(2\) vì \(2\) không thuộc \( B \).

Vậy \( B \cap C = (2, 3) \).

c) \( A \cap C \):
- \( A = [-2, 4] \)
- \( C = (-\infty, 3) \)
- Giao của \( A \) và \( C \) là các phần tử chung của cả hai tập hợp. Từ \( A \), ta có đoạn từ \(-2\) đến \(4\), và từ \( C \), ta có đoạn từ \(-\infty\) đến \(3\). Phần chung là đoạn từ \(-2\) đến \(3\) nhưng không bao gồm \(3\) vì \(3\) không thuộc \( C \).

Vậy \( A \cap C = [-2, 3) \).

d) \( \mathbb{R} \cap A \):
- \( \mathbb{R} \) là tập hợp tất cả các số thực.
- \( A = [-2, 4] \)
- Giao của \( \mathbb{R} \) và \( A \) chính là \( A \) vì \( A \) là một phần của \( \mathbb{R} \).

Vậy \( \mathbb{R} \cap A = [-2, 4] \).

e) \( \mathbb{R} \cap B \):
- \( \mathbb{R} \) là tập hợp tất cả các số thực.
- \( B = (2, +\infty) \)
- Giao của \( \mathbb{R} \) và \( B \) chính là \( B \) vì \( B \) là một phần của \( \mathbb{R} \).

Vậy \( \mathbb{R} \cap B = (2, +\infty) \).

f) \( A \cap B \cap C \):
- \( A = [-2, 4] \)
- \( B = (2, +\infty) \)
- \( C = (-\infty, 3) \)
- Giao của \( A \), \( B \), và \( C \) là các phần tử chung của cả ba tập hợp. Từ \( A \cap B \), ta có đoạn \( (2, 4] \), và từ \( C \), ta có đoạn từ \(-\infty\) đến \(3\). Phần chung của \( (2, 4] \) và \( (-\infty, 3) \) là đoạn từ \(2\) đến \(3\) nhưng không bao gồm \(2\) vì \(2\) không thuộc \( B \).

Vậy \( A \cap B \cap C = (2, 3) \).

Biểu diễn các tập hợp trên trục số:

a) \( A \cap B = (2, 4] \):
```
-2 0 2 3 4
|-----|----(====]------>
```

b) \( B \cap C = (2, 3) \):
```
-2 0 2 3 4
|-----|----(====)------>
```

c) \( A \cap C = [-2, 3) \):
```
-2 0 2 3 4
[=====|====)--------->
```

d) \( \mathbb{R} \cap A = [-2, 4] \):
```
-2 0 2 3 4
[=====|====|====]------>
```

e) \( \mathbb{R} \cap B = (2, +\infty) \):
```
-2 0 2 3 4
|-----|----(====>------>
```

f) \( A \cap B \cap C = (2, 3) \):
```
-2 0 2 3 4
|-----|----(====)------>
```