Để giải phương trình \( \frac{x}{2(x - 3)} + \frac{x}{2x} + 2 = \frac{2x}{(x - 3)(x + 1)} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Đưa các phân số về cùng mẫu số chung:**

Mẫu số chung của các phân số trong phương trình là \( 2(x - 3)(x + 1) \).

2. **Quy đồng mẫu số:**

- Phân số thứ nhất: \( \frac{x}{2(x - 3)} \)
\[
\frac{x}{2(x - 3)} = \frac{x(x + 1)}{2(x - 3)(x + 1)}
\]

- Phân số thứ hai: \( \frac{x}{2x} \)
\[
\frac{x}{2x} = \frac{1}{2}
\]
Quy đồng mẫu số:
\[
\frac{1}{2} = \frac{(x - 3)(x + 1)}{2(x - 3)(x + 1)}
\]

- Số hạng thứ ba: \( 2 \)
\[
2 = \frac{2 \cdot 2(x - 3)(x + 1)}{2(x - 3)(x + 1)} = \frac{4(x - 3)(x + 1)}{2(x - 3)(x + 1)}
\]

- Phân số bên phải: \( \frac{2x}{(x - 3)(x + 1)} \)
\[
\frac{2x}{(x - 3)(x + 1)} = \frac{2x}{(x - 3)(x + 1)}
\]

3. **Viết lại phương trình với mẫu số chung:**

\[
\frac{x(x + 1)}{2(x - 3)(x + 1)} + \frac{(x - 3)(x + 1)}{2(x - 3)(x + 1)} + \frac{4(x - 3)(x + 1)}{2(x - 3)(x + 1)} = \frac{2x}{(x - 3)(x + 1)}
\]

4. **Gộp các phân số lại:**

\[
\frac{x(x + 1) + (x - 3)(x + 1) + 4(x - 3)(x + 1)}{2(x - 3)(x + 1)} = \frac{2x}{(x - 3)(x + 1)}
\]

5. **Rút gọn tử số:**

\[
x(x + 1) + (x - 3)(x + 1) + 4(x - 3)(x + 1) = x^2 + x + x^2 - 2x - 3 + 4x^2 - 12x + 12
\]
\[
= 6x^2 - 13x + 9
\]

6. **Viết lại phương trình:**

\[
\frac{6x^2 - 13x + 9}{2(x - 3)(x + 1)} = \frac{2x}{(x - 3)(x + 1)}
\]

7. **Nhân cả hai vế với \( 2(x - 3)(x + 1) \) để loại bỏ mẫu số:**

\[
6x^2 - 13x + 9 = 4x
\]

8. **Chuyển tất cả các hạng tử về một vế:**

\[
6x^2 - 13x + 9 - 4x = 0
\]
\[
6x^2 - 17x + 9 = 0
\]

9. **Giải phương trình bậc hai:**

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Với \( a = 6 \), \( b = -17 \), và \( c = 9 \):
\[
x = \frac{17 \pm \sqrt{(-17)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 9}}{2 \cdot 6}
\]
\[
x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 216}}{12}
\]
\[
x = \frac{17 \pm \sqrt{73}}{12}
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:
\[
x = \frac{17 + \sqrt{73}}{12} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{17 - \sqrt{73}}{12}
\]