Để tìm số nghiệm tự nhiên của phương trình \( xy - 4x = 35 - 5y \), chúng ta có thể biến đổi phương trình này như sau:

1. Đưa tất cả về một phía:
\[
xy - 4x + 5y - 35 = 0
\]

2. Tổ hợp các biến:
\[
xy + 5y - 4x - 35 = 0
\]

3. Đây là phương trình bậc hai đối với biến \( y \):
\[
y(x + 5) - 4x - 35 = 0
\]

4. Giải phương trình này theo \( y \):
\[
y(x + 5) = 4x + 35
\]
\[
y = \frac{4x + 35}{x + 5}
\]

5. Bây giờ chúng ta cần \( y \) là một số tự nhiên. Thế \( y \) vào được cho:
\[
y = \frac{4x + 35}{x + 5}
\]

6. Để \( y \) là một số tự nhiên, \( 4x + 35 \) phải chia hết cho \( x + 5 \). Áp dụng phép chia, ta có:

Chia \( 4x + 35 \) cho \( x + 5 \):
\[
4x + 35 = 4(x + 5) - 5
\]

Do đó:
\[
y = 4 - \frac{5}{x + 5}
\]

7. Để \( y \) là số tự nhiên, thì \( \frac{5}{x + 5} \) cần phải là số nguyên. Điều này có nghĩa là \( x + 5 \) phải chia hết cho 5:
\[
x + 5 = 5k \quad (k \in \mathbb{N})
\]

Vậy:
\[
x = 5k - 5 = 5(k - 1)
\]

8. Do \( x \) phải là số tự nhiên, nên \( k - 1 \geq 0 \) hay \( k \geq 1 \).

9. Với các giá trị của \( k \), ta có thể tính được \( y \):
\[
y = 4 - \frac{5}{5k} = 4 - \frac{1}{k}
\]

10. Để \( y \) là số tự nhiên, \( \frac{1}{k} \) cần phải là một số tự nhiên, tức là \( k \) phải là 1.

Giải riêng cho \( k = 1 \):
- Khi \( k = 1 \), ta có:
- \( x = 0 \) (Không phải tự nhiên)

Không có giá trị tự nhiên nào thỏa mãn phương trình. Do đó:

**Kết luận:** Phương trình \( xy - 4x = 35 - 5y \) không có nghiệm nào là số tự nhiên.