### Bài 4:
Cho tam giác MNP có MN = 5 cm, MP = 12 cm, NP = 13 cm. Chứng minh tam giác MNP vuông tại M. Từ đó, tính các tỉ số lượng giác của góc N.

**Chứng minh tam giác MNP vuông tại M:**

Ta sử dụng định lý Pythagore để kiểm tra xem tam giác MNP có vuông tại M hay không.

Theo định lý Pythagore, trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Ta có:
\[ MP^2 = MN^2 + NP^2 \]

Thay số vào:
\[ 12^2 = 5^2 + 13^2 \]
\[ 144 = 25 + 169 \]
\[ 144 = 144 \]

Vậy tam giác MNP vuông tại M.

**Tính các tỉ số lượng giác của góc N:**

Trong tam giác vuông MNP vuông tại M, ta có:
- Cạnh đối diện góc N là MN = 5 cm
- Cạnh kề góc N là MP = 12 cm
- Cạnh huyền là NP = 13 cm

Các tỉ số lượng giác của góc N là:
- Sin(N) = đối/huyền = MN/NP = 5/13
- Cos(N) = kề/huyền = MP/NP = 12/13
- Tan(N) = đối/kề = MN/MP = 5/12
- Cot(N) = kề/đối = MP/MN = 12/5

### Bài 5:
Cho tam giác đều ABC có AB = 2a. Kẻ đường cao AH.

**a) Tính độ dài các đoạn thẳng BH, AH:**

Trong tam giác đều ABC, đường cao AH cũng là đường trung tuyến và đường phân giác.

Do đó, H là trung điểm của BC, nên:
\[ BH = HC = \frac{BC}{2} = \frac{2a}{2} = a \]

Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AHB:
\[ AB^2 = AH^2 + BH^2 \]
\[ (2a)^2 = AH^2 + a^2 \]
\[ 4a^2 = AH^2 + a^2 \]
\[ AH^2 = 4a^2 - a^2 \]
\[ AH^2 = 3a^2 \]
\[ AH = a\sqrt{3} \]

Vậy:
\[ BH = a \]
\[ AH = a\sqrt{3} \]

**b) Tính các tỉ số lượng giác của góc 30°:**

Trong tam giác vuông AHB, góc BAH = 30°.

Các tỉ số lượng giác của góc 30° là:
- Sin(30°) = đối/huyền = BH/AB = a/2a = 1/2
- Cos(30°) = kề/huyền = AH/AB = a\sqrt{3}/2a = \sqrt{3}/2
- Tan(30°) = đối/kề = BH/AH = a/a\sqrt{3} = 1/\sqrt{3} = \sqrt{3}/3
- Cot(30°) = kề/đối = AH/BH = a\sqrt{3}/a = \sqrt{3}