Để chứng minh rằng \(3\) chia hết cho \(n - 111\), chúng ta cần chứng minh rằng \(n - 111\) là một bội số của \(3\). Điều này có nghĩa là \(n - 111\) phải có dạng \(3k\) với \(k\) là một số nguyên.

a) Để chứng minh rằng \(3\) chia hết cho \(n - 1\), chúng ta cần chứng minh rằng \(n - 1\) là một bội số của \(3\). Điều này có nghĩa là \(n - 1\) phải có dạng \(3m\) với \(m\) là một số nguyên.

Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét hai điều kiện này cùng nhau.

1. Giả sử \(n - 1\) là một bội số của \(3\). Điều này có nghĩa là:
\[ n - 1 = 3m \]
với \(m\) là một số nguyên.

2. Chúng ta cần chứng minh rằng \(n - 111\) cũng là một bội số của \(3\). Ta có:
\[ n - 111 = (n - 1) + (1 - 111) \]
\[ n - 111 = 3m + (1 - 111) \]
\[ n - 111 = 3m - 110 \]

3. Bây giờ, ta cần kiểm tra xem \(3m - 110\) có phải là một bội số của \(3\) hay không. Ta biết rằng \(3m\) là một bội số của \(3\), do đó ta chỉ cần kiểm tra \(110\) có phải là một bội số của \(3\) hay không.

4. Ta thấy rằng:
\[ 110 \div 3 = 36.6667 \]
Điều này cho thấy \(110\) không phải là một bội số của \(3\).

5. Tuy nhiên, ta có thể viết lại \(110\) dưới dạng:
\[ 110 = 3 \times 36 + 2 \]
Điều này có nghĩa là:
\[ 3m - 110 = 3m - (3 \times 36 + 2) \]
\[ 3m - 110 = 3m - 3 \times 36 - 2 \]
\[ 3m - 110 = 3(m - 36) - 2 \]

6. Vì \(3(m - 36)\) là một bội số của \(3\), nên để \(n - 111\) là một bội số của \(3\), \(2\) phải là một bội số của \(3\). Tuy nhiên, \(2\) không phải là một bội số của \(3\).

Do đó, giả thiết ban đầu rằng \(n - 1\) là một bội số của \(3\) không đủ để chứng minh rằng \(n - 111\) là một bội số của \(3\).

Vì vậy, \(3\) không chia hết cho \(n - 111\) chỉ dựa trên việc \(3\) chia hết cho \(n - 1\).