Để tính diện tích tam giác ABC, ta cần tìm độ dài các cạnh của tam giác. Ta có các thông tin sau:

- AB = 50 cm
- Chu vi tam giác ABC là 180 cm
- Tam giác ABC là tam giác cân với AB = AD khi kéo dài BC thêm một đoạn
- Tam giác ACD có chiều cao hạ từ C là 18 cm

Đầu tiên, ta gọi các cạnh của tam giác ABC là:
- AB = c = 50 cm
- BC = a
- CA = b

Chu vi tam giác ABC là:
\[ AB + BC + CA = 180 \]
\[ 50 + a + b = 180 \]
\[ a + b = 130 \]

Do tam giác ABC là tam giác cân với AB = AD, ta có:
\[ AD = AB = 50 \text{ cm} \]

Xét tam giác ACD, chiều cao hạ từ C xuống AD là 18 cm. Ta gọi điểm hạ từ C xuống AD là H. Do AD = 50 cm, H chia AD thành hai đoạn AH và HD, mỗi đoạn có độ dài bằng nhau (vì tam giác ACD cân tại A), nên:
\[ AH = HD = \frac{AD}{2} = \frac{50}{2} = 25 \text{ cm} \]

Xét tam giác vuông CHD, ta có:
\[ CH = 18 \text{ cm} \]
\[ HD = 25 \text{ cm} \]

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông CHD:
\[ CD^2 = CH^2 + HD^2 \]
\[ CD^2 = 18^2 + 25^2 \]
\[ CD^2 = 324 + 625 \]
\[ CD^2 = 949 \]
\[ CD = \sqrt{949} \]

Do tam giác ABC là tam giác cân với AB = AD, ta có:
\[ AC = AD = 50 \text{ cm} \]

Vậy, tam giác ABC có các cạnh:
- AB = 50 cm
- AC = 50 cm
- BC = a

Ta đã có:
\[ a + b = 130 \]
\[ b = 50 \]
\[ a = 130 - 50 = 80 \]

Vậy, các cạnh của tam giác ABC là:
- AB = 50 cm
- AC = 50 cm
- BC = 80 cm

Diện tích tam giác ABC được tính bằng công thức Heron:
\[ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \]
Trong đó, \( s \) là nửa chu vi của tam giác:
\[ s = \frac{AB + BC + CA}{2} = \frac{50 + 80 + 50}{2} = 90 \text{ cm} \]

Áp dụng công thức Heron:
\[ S = \sqrt{90(90-50)(90-50)(90-80)} \]
\[ S = \sqrt{90 \times 40 \times 40 \times 10} \]
\[ S = \sqrt{1440000} \]
\[ S = 1200 \text{ cm}^2 \]

Vậy, diện tích tam giác ABC là \( 1200 \text{ cm}^2 \).