Để giải bài toán này, trước tiên ta sẽ biểu diễn \( a \), \( b \) và \( c \) theo một biến số chung.

Theo đề bài, ta có:

\[
2a = 3b = 4c
\]

Gọi \( k \) là hằng số mà mọi biểu thức đều bằng nhau, ta có:

\[
2a = k \quad \Rightarrow \quad a = \frac{k}{2}
\]

\[
3b = k \quad \Rightarrow \quad b = \frac{k}{3}
\]

\[
4c = k \quad \Rightarrow \quad c = \frac{k}{4}
\]

Bây giờ, thay giá trị của \( a \), \( b \), và \( c \) vào phương trình thứ hai:

\[
a + b + c = 260
\]

Thay vào:

\[
\frac{k}{2} + \frac{k}{3} + \frac{k}{4} = 260
\]

Để dễ dàng tính toán, ta tìm bội số chung nhỏ nhất của 2, 3, và 4, đó là 12. Ta sẽ nhân tất cả các phần với 12 để loại bỏ mẫu số:

\[
12 \left(\frac{k}{2}\right) + 12 \left(\frac{k}{3}\right) + 12 \left(\frac{k}{4}\right) = 12 \cdot 260
\]

Tính từng phần:

\[
6k + 4k + 3k = 3120
\]

Gộp lại:

\[
13k = 3120
\]

Giải phương trình, ta tìm giá trị của \( k \):

\[
k = \frac{3120}{13} \approx 240
\]

Bây giờ, ta sẽ tính các giá trị của \( a \), \( b \), và \( c \):

\[
a = \frac{k}{2} = \frac{240}{2} = 120
\]

\[
b = \frac{k}{3} = \frac{240}{3} = 80
\]

\[
c = \frac{k}{4} = \frac{240}{4} = 60
\]

Vậy là ta có kết quả:

\[
a = 120, \quad b = 80, \quad c = 60
\]

Cuối cùng, các giá trị \( a \), \( b \), và \( c \) là:

\[
(a, b, c) = (120, 80, 60)
\]