### Câu 1: Tìm các số nguyên tố \( p, q \) thỏa mãn \( p^2 + q = 37q^2 + p \)

Ta có phương trình:
\[ p^2 + q = 37q^2 + p \]

Chuyển hết các hạng tử về một vế:
\[ p^2 - p + q - 37q^2 = 0 \]

Đây là một phương trình bậc hai theo \( p \). Ta có thể giải phương trình này bằng cách sử dụng định lý về nghiệm của phương trình bậc hai. Tuy nhiên, trước tiên ta thử các giá trị nhỏ của \( p \) và \( q \) để tìm nghiệm nguyên tố.

Thử \( p = 2 \):
\[ 2^2 - 2 + q - 37q^2 = 0 \]
\[ 4 - 2 + q - 37q^2 = 0 \]
\[ 2 + q - 37q^2 = 0 \]
\[ 37q^2 - q - 2 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai theo \( q \):
\[ q = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 37 \cdot (-2)}}{2 \cdot 37} \]
\[ q = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 296}}{74} \]
\[ q = \frac{1 \pm \sqrt{297}}{74} \]

Vì \( \sqrt{297} \) không phải là số nguyên, nên \( q \) không phải là số nguyên.

Thử \( p = 3 \):
\[ 3^2 - 3 + q - 37q^2 = 0 \]
\[ 9 - 3 + q - 37q^2 = 0 \]
\[ 6 + q - 37q^2 = 0 \]
\[ 37q^2 - q - 6 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai theo \( q \):
\[ q = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 37 \cdot (-6)}}{2 \cdot 37} \]
\[ q = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 888}}{74} \]
\[ q = \frac{1 \pm \sqrt{889}}{74} \]

Vì \( \sqrt{889} \) không phải là số nguyên, nên \( q \) không phải là số nguyên.

Thử \( p = 5 \):
\[ 5^2 - 5 + q - 37q^2 = 0 \]
\[ 25 - 5 + q - 37q^2 = 0 \]
\[ 20 + q - 37q^2 = 0 \]
\[ 37q^2 - q - 20 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai theo \( q \):
\[ q = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 37 \cdot (-20)}}{2 \cdot 37} \]
\[ q = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 2960}}{74} \]
\[ q = \frac{1 \pm \sqrt{2961}}{74} \]

Vì \( \sqrt{2961} \) không phải là số nguyên, nên \( q \) không phải là số nguyên.

Thử \( p = 7 \):
\[ 7^2 - 7 + q - 37q^2 = 0 \]
\[ 49 - 7 + q - 37q^2 = 0 \]
\[ 42 + q - 37q^2 = 0 \]
\[ 37q^2 - q - 42 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai theo \( q \):
\[ q = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 37 \cdot (-42)}}{2 \cdot 37} \]
\[ q = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 6224}}{74} \]
\[ q = \frac{1 \pm \sqrt{6225}}{74} \]

Vì \( \sqrt{6225} \) không phải là số nguyên, nên \( q \) không phải là số nguyên.

Do đó, không có cặp số nguyên tố \( p, q \) nào thỏa mãn phương trình \( p^2 + q = 37q^2 + p \).

### Câu 2: Tìm bộ ba số tự nhiên \( (x, y, z) \) và \( x < y \) thỏa mãn \( x^2 + y^2 = 3 \cdot 2016^z + 77 \)

Ta có phương trình:
\[ x^2 + y^2 = 3 \cdot 2016^z + 77 \]

Vì \( x \) và \( y \) là các số tự nhiên và \( x < y \), ta thử các giá trị nhỏ của \( z \) để tìm nghiệm.

Thử \( z = 1 \):
\[ x^2 + y^2 = 3 \cdot 2016 + 77 \]
\[ x^2 + y^2 = 6048 + 77 \]
\[ x^2 + y^2 = 6125 \]

Tìm các cặp \( (x, y) \) sao cho \( x^2 + y^2 = 6125 \) và \( x < y \):
- \( x = 1 \), \( y^2 = 6124 \) (không phải số chính phương)
- \( x = 2 \), \( y^2 = 6121 \) (không phải số chính phương)
- \( x = 3 \), \( y^2 = 6116 \) (không phải số chính phương)
- ...
- \( x = 35 \), \( y^2 = 4900 \)
\[ y = 70 \]

Vậy \( (x, y, z) = (35, 70, 1) \) thỏa mãn điều kiện \( x < y \) và \( x^2 + y^2 = 3 \cdot 2016^z + 77 \).

Do đó, bộ ba số tự nhiên thỏa mãn là \( (35, 70, 1) \).