Tìm m nguyên để giá trị của biểu thức sau nguyên

Để tìm giá trị nguyên của \( m \) để biểu thức \( P \) là số nguyên, ta cần phân tích biểu thức \( P \):

\[ P = \frac{2m^2 - m + 3}{2m + 1} \]

Để \( P \) là số nguyên, tử số \( 2m^2 - m + 3 \) phải chia hết cho mẫu số \( 2m + 1 \).

Ta sẽ thực hiện phép chia đa thức:

1. Chia \( 2m^2 - m + 3 \) cho \( 2m + 1 \):

\[ \frac{2m^2 - m + 3}{2m + 1} \]

2. Thực hiện phép chia:

\[ 2m^2 - m + 3 \div 2m + 1 \]

- Bước 1: Chia \( 2m^2 \) cho \( 2m \), ta được \( m \).
- Bước 2: Nhân \( m \) với \( 2m + 1 \), ta được \( 2m^2 + m \).
- Bước 3: Trừ \( 2m^2 + m \) từ \( 2m^2 - m + 3 \):

\[ (2m^2 - m + 3) - (2m^2 + m) = -2m + 3 \]

- Bước 4: Chia \( -2m \) cho \( 2m \), ta được \( -1 \).
- Bước 5: Nhân \( -1 \) với \( 2m + 1 \), ta được \( -2m - 1 \).
- Bước 6: Trừ \( -2m - 1 \) từ \( -2m + 3 \):

\[ (-2m + 3) - (-2m - 1) = 4 \]

Vậy ta có:

\[ \frac{2m^2 - m + 3}{2m + 1} = m - 1 + \frac{4}{2m + 1} \]

Để \( P \) là số nguyên, thì \( \frac{4}{2m + 1} \) phải là số nguyên. Điều này có nghĩa là \( 2m + 1 \) phải là ước của 4.

Các ước của 4 là: \( \pm 1, \pm 2, \pm 4 \).

- Nếu \( 2m + 1 = 1 \) thì \( m = 0 \).
- Nếu \( 2m + 1 = -1 \) thì \( m = -1 \).
- Nếu \( 2m + 1 = 2 \) thì \( m = \frac{1}{2} \) (không phải số nguyên).
- Nếu \( 2m + 1 = -2 \) thì \( m = -\frac{3}{2} \) (không phải số nguyên).
- Nếu \( 2m + 1 = 4 \) thì \( m = \frac{3}{2} \) (không phải số nguyên).
- Nếu \( 2m + 1 = -4 \) thì \( m = -\frac{5}{2} \) (không phải số nguyên).

Vậy các giá trị nguyên của \( m \) để biểu thức \( P \) là số nguyên là \( m = 0 \) và \( m = -1 \).