Để x là số nguyên, ta cần \( x = a + \frac{19}{a} \) là số nguyên. Điều này có nghĩa là \( \frac{19}{a} \) phải là số nguyên, tức là 19 phải chia hết cho a. Các giá trị nguyên của a mà 19 chia hết bao gồm các ước của 19, đó là:

\[ a = \pm 1, \pm 19 \]

Vậy, với các giá trị nguyên của a là \( a = 1, -1, 19, -19 \), thì x sẽ là số nguyên.