Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của các góc và đường thẳng song song.

**1) Chứng minh \(\angle BAO = \angle AOC\) và \(\angle CAO = \angle AOB\):**

- Đầu tiên, ta có điểm \(A\) thuộc tia phân giác của góc \(\angle xOy\), nghĩa là \(\angle xOA = \angle yOA\).

- Vẽ đường thẳng qua \(A\) song song với \(Ox\), cắt \(Oy\) tại \(B\). Theo tính chất của các đường thẳng song song, ta có:
\[
\angle xOA = \angle OAB
\]
(vì \(\angle xOA\) và \(\angle OAB\) là hai góc so le trong).

- Vẽ đường thẳng qua \(A\) song song với \(Oy\), cắt \(Ox\) tại \(C\). Theo tính chất của các đường thẳng song song, ta có:
\[
\angle yOA = \angle OAC
\]
(vì \(\angle yOA\) và \(\angle OAC\) là hai góc so le trong).

- Từ đó, ta có:
\[
\angle OAB = \angle OAC
\]

- Xét tam giác \(OAB\) và tam giác \(OAC\):
\[
\angle BAO = \angle OAB \quad \text{và} \quad \angle CAO = \angle OAC
\]

- Vì \(\angle OAB = \angle OAC\), nên:
\[
\angle BAO = \angle AOC \quad \text{và} \quad \angle CAO = \angle AOB
\]

**2) Chứng minh \(AO\) là tia phân giác của \(\angle BAC\):**

- Từ phần chứng minh trên, ta có:
\[
\angle BAO = \angle AOC \quad \text{và} \quad \angle CAO = \angle AOB
\]

- Do đó, trong tam giác \(BAC\), ta có:
\[
\angle BAO = \angle CAO
\]

- Điều này có nghĩa là \(AO\) chia \(\angle BAC\) thành hai góc bằng nhau, tức là \(AO\) là tia phân giác của \(\angle BAC\).

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu của bài toán.