Để giải bài toán này, ta gọi số sách ban đầu ở ngăn thứ nhất là \( x \) và số sách ban đầu ở ngăn thứ hai là \( y \).

Theo đề bài, ta có hai phương trình sau:

1. Tổng số sách ở hai ngăn là 450:
\[ x + y = 450 \]

2. Nếu chuyển 65 cuốn sách từ ngăn thứ hai sang ngăn thứ nhất, số sách ở ngăn thứ hai gấp đôi số sách ở ngăn thứ nhất:
\[ y - 65 = 2(x + 65) \]

Bây giờ, ta sẽ giải hệ phương trình này.

Từ phương trình thứ nhất:
\[ y = 450 - x \]

Thay \( y \) vào phương trình thứ hai:
\[ 450 - x - 65 = 2(x + 65) \]
\[ 385 - x = 2x + 130 \]
\[ 385 - 130 = 2x + x \]
\[ 255 = 3x \]
\[ x = 85 \]

Thay \( x = 85 \) vào phương trình \( y = 450 - x \):
\[ y = 450 - 85 \]
\[ y = 365 \]

Vậy số sách ban đầu ở ngăn thứ nhất là 85 cuốn và ở ngăn thứ hai là 365 cuốn.