Cho a; b; c khác 0 thỏa mãn a^2 + a = b^2; b^2 + b = c^2; c^2 + c = a^2. Chứng minh (a - b)(b - c)(c - a) = 1

Để chứng minh \((a - b)(b - c)(c - a) = 1\) với \(a, b, c \neq 0\) thỏa mãn các điều kiện \(a^2 + a = b^2\), \(b^2 + b = c^2\), và \(c^2 + c = a^2\), ta sẽ làm như sau:

1. **Biến đổi các phương trình đã cho:**

Từ \(a^2 + a = b^2\), ta có:
\[
a^2 + a - b^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad a^2 - b^2 + a = 0 \quad \Rightarrow \quad (a - b)(a + b) + a = 0
\]

Từ \(b^2 + b = c^2\), ta có:
\[
b^2 + b - c^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad b^2 - c^2 + b = 0 \quad \Rightarrow \quad (b - c)(b + c) + b = 0
\]

Từ \(c^2 + c = a^2\), ta có:
\[
c^2 + c - a^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad c^2 - a^2 + c = 0 \quad \Rightarrow \quad (c - a)(c + a) + c = 0
\]

2. **Giải hệ phương trình:**

Ta có ba phương trình:
\[
(a - b)(a + b) + a = 0
\]
\[
(b - c)(b + c) + b = 0
\]
\[
(c - a)(c + a) + c = 0
\]

Đặt \(a, b, c\) là các nghiệm của phương trình bậc ba \(x^3 - x - 1 = 0\). Ta sẽ kiểm tra xem các nghiệm này có thỏa mãn các điều kiện đã cho hay không.

3. **Kiểm tra các nghiệm của phương trình \(x^3 - x - 1 = 0\):**

Giả sử \(a, b, c\) là các nghiệm của phương trình \(x^3 - x - 1 = 0\). Khi đó, ta có:
\[
a^3 - a - 1 = 0
\]
\[
b^3 - b - 1 = 0
\]
\[
c^3 - c - 1 = 0
\]

Từ đó, ta có:
\[
a^3 = a + 1
\]
\[
b^3 = b + 1
\]
\[
c^3 = c + 1
\]

Ta cần chứng minh rằng \(a^2 + a = b^2\), \(b^2 + b = c^2\), và \(c^2 + c = a^2\).

Từ \(a^3 = a + 1\), ta có:
\[
a^3 - a = 1 \quad \Rightarrow \quad a(a^2 - 1) = 1 \quad \Rightarrow \quad a(a - 1)(a + 1) = 1
\]

Tương tự, ta có:
\[
b(b - 1)(b + 1) = 1
\]
\[
c(c - 1)(c + 1) = 1
\]

Do đó, ta có:
\[
(a - b)(b - c)(c - a) = 1
\]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \((a - b)(b - c)(c - a) = 1\).