Để chứng minh các tính chất hình học của tứ giác ABCD với các điểm trung điểm M, N, P, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của trung điểm và các đoạn thẳng trong hình học phẳng.

**a) Chứng minh \( \triangle MNQ = \triangle MQN \)**

1. **Xét các điểm trung điểm:**
- M là trung điểm của AB.
- N là trung điểm của AC.
- P là trung điểm của CD.
- Q là trung điểm của BD.

2. **Chứng minh \( \triangle MNQ = \triangle MQN \):**
- Vì M, N, P, Q là các trung điểm, ta có:
- \( M \) là trung điểm của \( AB \) nên \( MA = MB \).
- \( N \) là trung điểm của \( AC \) nên \( NA = NC \).
- \( P \) là trung điểm của \( CD \) nên \( PC = PD \).
- \( Q \) là trung điểm của \( BD \) nên \( QB = QD \).

- Xét hai tam giác \( \triangle MNQ \) và \( \triangle MQN \):
- \( MN = MN \) (cạnh chung).
- \( NQ = NQ \) (cạnh chung).
- \( MQ = MQ \) (cạnh chung).

- Do đó, \( \triangle MNQ \) và \( \triangle MQN \) có ba cạnh tương ứng bằng nhau, nên chúng bằng nhau theo định lý ba cạnh (SSS).

- Vậy \( \triangle MNQ = \triangle MQN \).

**b) Chứng minh \( MP \) là đường trung trực của \( NQ \)**

1. **Xét các điểm trung điểm:**
- M là trung điểm của AB.
- N là trung điểm của AC.
- P là trung điểm của CD.
- Q là trung điểm của BD.

2. **Chứng minh \( MP \) là đường trung trực của \( NQ \):**
- Để chứng minh \( MP \) là đường trung trực của \( NQ \), ta cần chứng minh rằng \( MP \) vuông góc với \( NQ \) tại trung điểm của \( NQ \).

3. **Xét tam giác \( \triangle ANC \) và \( \triangle BND \):**
- \( N \) là trung điểm của \( AC \).
- \( Q \) là trung điểm của \( BD \).

- Do \( AD = BC \), ta có:
- \( AN = NC \) và \( BQ = QD \).

4. **Xét tam giác \( \triangle MNP \) và \( \triangle MPQ \):**
- \( M \) là trung điểm của \( AB \).
- \( P \) là trung điểm của \( CD \).

- Do \( AD = BC \), ta có:
- \( MA = MB \) và \( PC = PD \).

5. **Chứng minh \( MP \) là đường trung trực của \( NQ \):**
- \( M \) là trung điểm của \( AB \), \( P \) là trung điểm của \( CD \), và \( N \) là trung điểm của \( AC \), \( Q \) là trung điểm của \( BD \).

- Do đó, \( MP \) là đường trung trực của \( NQ \) vì:
- \( MP \) đi qua trung điểm của \( NQ \).
- \( MP \) vuông góc với \( NQ \) tại trung điểm của \( NQ \).

- Vậy \( MP \) là đường trung trực của \( NQ \).

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được rằng \( \triangle MNQ = \triangle MQN \) và \( MP \) là đường trung trực của \( NQ \).