Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần:

**a) Chứng minh MB = MN:**

- Xét tam giác ABN, ta có AN = AB (giả thiết).
- Xét tam giác ABM và tam giác ANM, ta có:
+ AM là phân giác của góc BAC nên góc BAM = góc NAM.
+ AB = AN (giả thiết).
+ AM là cạnh chung.

Do đó, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có tam giác ABM bằng tam giác ANM (ΔABM = ΔANM).

=> MB = MN (hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau).

**b) Chứng minh ΔMBK = ΔMNC:**

- Từ phần a, ta đã có MB = MN.
- Xét tam giác MBK và tam giác MNC, ta có:
+ MB = MN (đã chứng minh ở phần a).
+ Góc BMK = góc CNM (góc đối đỉnh).
+ MK là cạnh chung.

Do đó, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có tam giác MBK bằng tam giác MNC (ΔMBK = ΔMNC).

**c) Chứng minh AM ⊥ KC và BN // KC:**

- Xét tam giác ABN, ta có AN = AB (giả thiết).
- Xét tam giác ABM và tam giác ANM, ta có:
+ AM là phân giác của góc BAC nên góc BAM = góc NAM.
+ AB = AN (giả thiết).
+ AM là cạnh chung.

Do đó, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có tam giác ABM bằng tam giác ANM (ΔABM = ΔANM).

=> Góc BAM = góc NAM.

- Vì K là giao điểm của AB và MN, nên góc AKM = góc NKM (góc đối đỉnh).

=> AM ⊥ KC (vì góc BAM = góc NAM và góc AKM = góc NKM).

- Vì góc BAM = góc NAM và góc AKM = góc NKM, nên BN // KC (vì hai góc tương ứng bằng nhau).

**d) Chứng minh AC - AB > MC - MB:**

- Từ phần a, ta đã có MB = MN.
- Xét tam giác ABC và tam giác ANC, ta có:
+ AB < AC (giả thiết).
+ AN = AB (giả thiết).

=> AC > AB.

- Xét tam giác AMC, ta có:
+ AM là phân giác của góc BAC.
+ MB = MN (đã chứng minh ở phần a).

=> MC > MB (vì AC > AB và AM là phân giác).

Do đó, AC - AB > MC - MB.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh xong các phần của bài toán.