Để tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \( y = \frac{3}{4}x \) và \( y = -\frac{1}{3}x - 1 \), ta sẽ đặt hai phương trình bằng nhau:

\[
\frac{3}{4}x = -\frac{1}{3}x - 1
\]

Bước đầu tiên, ta nhân cả hai vế với 12 (bởi vì 12 là bội số chung nhỏ nhất của 4 và 3):

\[
12 \cdot \frac{3}{4}x = 12 \cdot \left( -\frac{1}{3}x - 1 \right)
\]

Sẽ được:

\[
9x = -4x - 12
\]

Tiếp theo, ta cộng \( 4x \) cho cả hai vế:

\[
9x + 4x = -12
\]

Hoặc:

\[
13x = -12
\]

Chia cả hai vế cho 13:

\[
x = -\frac{12}{13}
\]

Bây giờ, ta thay giá trị \( x \) vào một trong hai phương trình để tìm giá trị của \( y \). Ta sử dụng phương trình \( y = \frac{3}{4}x \):

\[
y = \frac{3}{4} \left( -\frac{12}{13} \right) = -\frac{36}{52} = -\frac{9}{13}
\]

Vậy, tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là:

\[
\left( -\frac{12}{13}, -\frac{9}{13} \right)
\]